Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8968137

Sześć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w 5 pudełkach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa pudełka będą puste?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy ciągi numerów pudełek, do których trafiają kolejne kule. Tak więc

|Ω | = 5⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5⋅ 5 = 56.

Obliczmy, ile jest zdarzeń sprzyjających. Dwa pudełka, które mają być puste możemy wybrać na

( ) 5 5-⋅4 2 = 2 = 1 0

sposobów. Gdy to zrobimy, pozostaje nadal 6 kul i 3 pudełka. Mamy następujące 3 możliwości: albo w jednym pudełku są cztery kule i dwóch pozostałych po jednej, albo w jednym pudełku są trzy kule, w drugim dwie, a w ostatnim jedna, albo wreszcie w każdym z pudełek są dwie kule. Zajmijmy się każdym z tych przypadków z osobna.

Jeżeli w jednym z pudełek mają być cztery kule, to możemy ustalić, które to pudełko na 3 sposoby, potem na

6 ⋅5 = 30

sposobów wkładamy po jednej kuli do dwóch pozostałych pudełek i na koniec pozostałe cztery kule wkładamy do wybranego wcześniej pudełka. W sumie jest więc

10 ⋅3⋅3 0 = 100 ⋅9

zdarzeń tego typu.

Jeżeli natomiast w pudełkach mają być 3, 2 i 1 kula, to pudełko z jedną kulą możemy wybrać na 3 sposoby, potem na 6 sposobów wybieramy kulę, która się w nim znajdzie. Następnie na 2 sposoby wybieramy pudełko, w którym mają być 2 kule i na

( ) 5 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów wybieramy kule, które umieścimy w tym pudełku. Na koniec pozostałe trzy kule wkładamy do ostatniego pudełka. W sumie jest więc

10⋅3 ⋅6 ⋅2⋅ 10 = 100 ⋅36

zdarzeń tego typu.

Jeżeli wreszcie w trzech pudełkach mają być po dwie kule, to kule do pierwszego z tych pudełek wybieramy na

( ) 6 6 ⋅5 2 = --2- = 1 5

sposobów. Kule do drugiego na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów, a do ostatniego pudełka wkładamy pozostałe 2 kule. W sumie jest więc

10 ⋅15⋅ 6 = 100 ⋅9

zdarzeń tego typu.

Pozostało obliczyć prawdopodobieństwo

100-⋅9+--100-⋅36+--100-⋅9-= 100⋅-54-= 4⋅54-= 21-6. 56 56 54 62 5

 
Odpowiedź: 261265

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!