/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Zbiory liczb

Zadanie nr 1081009

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym dokładnie trzy razy występuje cyfra 1.

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy dwie możliwości. Jeżeli pierwszą cyfrą jest 1, to miejsca dla pozostałych dwóch jedynek możemy wybrać na

( ) 5 = 5-⋅4 = 1 0 2 2

sposobów. Potem każdą z trzech pozostałych cyfr możemy wybrać na 9 sposobów (nie możemy już wybierać 1–ki). Jest więc

3 10 ⋅9 = 72 90

liczb z jedynką na początku.

Jeżeli natomiast liczba nie zaczyna się od jedynki, to pierwszą jej cyfrę możemy wybrać na 8 sposobów (nie może być równa ani 0 ani 1). Potem na

( ) ( ) 5 = 5 = 10 3 2

sposobów wybieramy miejsca dla jedynek. I na koniec każdą z pozostałych dwóch cyfr możemy wybrać na 9 sposobów (nie mogą być równe 1). Jest więc

2 8⋅1 0⋅9 = 6480

liczb, które nie zaczynają się od jedynki. W sumie jest więc

7290 + 6480 = 13770

liczb spełniających warunki zadania.

Sposób II

Jest

( ) 6 6-⋅5⋅4- 3 3 3 ⋅9 ⋅9⋅9 = 3 ! ⋅9 = 5⋅4 ⋅9 = 14580

ciągów 6 cyfr, wśród których są dokładnie 3 jedynki (wybieramy miejsca dla jedynek, a potem każdą z pozostałych cyfr). Jednak nie każdy taki ciąg daje liczbę sześciocyfrową. Musimy odjąć liczbę ciągów, które zaczynają się od 0. Takich ciągów jest

( ) 5 5⋅-4⋅3- 2 2 3 ⋅9 ⋅9 = 3! ⋅9 = 5⋅2 ⋅9 = 81 0

(na pierwszym miejscu jest zero, więc miejsca dla jedynek wybieramy spośród 5 pozostałych miejsc, potem wybieramy pozostałe dwie cyfry). W sumie jest więc

14580 − 810 = 13770

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 13770

Wersja PDF