Zadanie nr 1081009
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym dokładnie trzy razy występuje cyfra 1.
Rozwiązanie
Sposób I
Mamy dwie możliwości. Jeżeli pierwszą cyfrą jest 1, to miejsca dla pozostałych dwóch jedynek możemy wybrać na
![( ) 5 = 5-⋅4 = 1 0 2 2](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR0x.png)
sposobów. Potem każdą z trzech pozostałych cyfr możemy wybrać na 9 sposobów (nie możemy już wybierać 1–ki). Jest więc
![3 10 ⋅9 = 72 90](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR1x.png)
liczb z jedynką na początku.
Jeżeli natomiast liczba nie zaczyna się od jedynki, to pierwszą jej cyfrę możemy wybrać na 8 sposobów (nie może być równa ani 0 ani 1). Potem na
![( ) ( ) 5 = 5 = 10 3 2](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR2x.png)
sposobów wybieramy miejsca dla jedynek. I na koniec każdą z pozostałych dwóch cyfr możemy wybrać na 9 sposobów (nie mogą być równe 1). Jest więc
![2 8⋅1 0⋅9 = 6480](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR3x.png)
liczb, które nie zaczynają się od jedynki. W sumie jest więc
![7290 + 6480 = 13770](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR4x.png)
liczb spełniających warunki zadania.
Sposób II
Jest
![( ) 6 6-⋅5⋅4- 3 3 3 ⋅9 ⋅9⋅9 = 3 ! ⋅9 = 5⋅4 ⋅9 = 14580](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR5x.png)
ciągów 6 cyfr, wśród których są dokładnie 3 jedynki (wybieramy miejsca dla jedynek, a potem każdą z pozostałych cyfr). Jednak nie każdy taki ciąg daje liczbę sześciocyfrową. Musimy odjąć liczbę ciągów, które zaczynają się od 0. Takich ciągów jest
![( ) 5 5⋅-4⋅3- 2 2 3 ⋅9 ⋅9 = 3! ⋅9 = 5⋅2 ⋅9 = 81 0](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR6x.png)
(na pierwszym miejscu jest zero, więc miejsca dla jedynek wybieramy spośród 5 pozostałych miejsc, potem wybieramy pozostałe dwie cyfry). W sumie jest więc
![14580 − 810 = 13770](https://img.zadania.info/zad/1081009/HzadR7x.png)
liczb spełniających warunki zadania.
Odpowiedź: 13770