/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Zbiory liczb

Zadanie nr 1481318

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ile jest liczb sześciocyfrowych liczb naturalnych, które mają cztery cyfry parzyste i dwie nieparzyste?

Rozwiązanie

Sposób I

Pomyślmy na ile sposobów można napisać 6 cyfr tak, aby otrzymać liczbę opisaną w treści zadania. Musimy najpierw ustalić miejsca dla cyfr nieparzystych (miejsca cyfr parzystych są wtedy jednoznacznie wyznaczone). Możemy to zrobić na

( ) 6 6-⋅5 2 = 2 = 1 5

sposobów.

Jeżeli już jest ustalone, gdzie stoją cyfry parzyste, a gdzie nieparzyste, to każdą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów. Prawda? Nie całkiem, bo na początku nie może stać 0. Aby poradzić sobie z tym problemem osobno zajmijmy się przypadkiem gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta – jest 5 takich układów cyfr (drugą cyfrę nieparzystą możemy rozmieścić na 5 sposobów). W takiej sytuacji rzeczywiście każdą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów, więc jest

5⋅5 ⋅5 ⋅5⋅ 5⋅5 ⋅5 = 57

liczb tej postaci.

Teraz przypadek, gdy na początku jest cyfra parzysta – jest 15− 5 = 10 takich układów. W takiej sytuacji pierwszą cyfrę możemy wybrać na 4 sposoby (nie może być 0), a wszystkie pozostałe na 5 sposobów. Jest więc

10 ⋅4 ⋅5 ⋅5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 8 ⋅56.

liczb tej postaci.

W sumie jest więc

57 + 8⋅5 6 = 78125 + 12 5000 = 20 3125

liczb spełniających warunki zadania.

Sposób II

Jeżeli pierwszą cyfrą utworzonej liczby jest liczba parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby. Wśród pozostałych cyfr mają być dwie cyfry nieparzyste – ich miejsce możemy wybrać na

( ) 5 5-⋅4 2 = 2 = 1 0

sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 5 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 6 4 ⋅10 ⋅5 = 8 ⋅5 .

takich liczb.

Jeżeli natomiast pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem musimy jeszcze ustalić, gdzie ma być druga cyfra nieparzysta – możemy to zrobić na 5 sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 5 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 ⋅5 ⋅55 = 57.

takich liczb.

Wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest więc

8⋅56 + 57 = 1 25000 + 781 25 = 2031 25.

Sposób III

Jest

( ) 6 ⋅56 = 6-⋅5 ⋅56 = 15 ⋅56 2 2

ciągów cyfr o długości 6, w których są dwie cyfry nieparzyste (na 2 sposoby wybieramy miejsca dla cyfr nieparzystych, a potem każdą z cyfr wybieramy na 5 sposobów). Wśród tych ciągów jest

(5) 5 ⋅4 ⋅55 = ---- ⋅55 = 10 ⋅55 2 2

ciągów rozpoczynających się zerem. Jest więc

6 5 5 15 ⋅5 − 10 ⋅5 = 5 (15 ⋅5 − 10) = 3 125⋅ 65 = 2031 25

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 203125

Wersja PDF