/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Zbiory liczb

Zadanie nr 2172898

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry parzyste.

Rozwiązanie

Miejsca dla trzech cyfr parzystych możemy wybrać na 5 (3) sposoby, ale musimy być trochę ostrożniejsi, bo pierwszą cyfrą nie może być 0.

Sposób I

Jeżeli pierwsza (najbardziej znacząca) cyfra liczby jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (nie może być 0). Potem na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla pozostałych cyfr parzystych i każdą z 4 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 ⋅6⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 150 00

takich liczb.

Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem na

(4) ( 4) = = 4 3 1

sposoby wybieramy miejsca dla cyfr parzystych i każdą z 4 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 ⋅4⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 125 00

takich liczb.

Wszystkich możliwości jest więc

150 00+ 12500 = 27500.

Sposób II

Zauważmy, że jeżeli dokładnie trzy cyfry są parzyste, to dokładnie dwie są nieparzyste.

Jeżeli pierwszą cyfrą utworzonej liczby jest liczba parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby. Wśród pozostałych cyfr mają być dwie cyfry nieparzyste – ich miejsce możemy wybrać na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 4 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 ⋅6 ⋅54 = 24 ⋅54.

takich liczb.

Jeżeli natomiast pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem musimy jeszcze ustalić, gdzie ma być druga cyfra nieparzysta – możemy to zrobić na 4 sposoby. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 4 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 5 5⋅ 4⋅5 = 4⋅5 .

takich liczb.

Wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest więc

4 5 24⋅ 5 + 4⋅5 = 15000 + 1250 0 = 27500 .

 
Odpowiedź: 27500

Wersja PDF