Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2313973

Oblicz, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie cztery cyfry 4 i dokładnie dwie cyfry 2.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak zwykle w zadaniach z cyframi musimy uważać na pierwszą cyfrę – żeby przypadkiem nie umieścić tam zera. Z tego powodu obliczenie, ile jest liczb spełniających warunki zadania, rozbijemy na trzy przypadki.

Załóżmy najpierw, że pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) nie jest dwójką ani czwórką. W takiej sytuacji miejsca dla czwórek możemy wybrać na

( 7) 7 ⋅6 ⋅5⋅ 4 7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 = ---------- = ---------- = 7 ⋅5 = 35 4 4! 24

sposobów. Potem wybieramy miejsca dla dwójek – możemy to zrobić na

( ) 3 = 3⋅-2 = 3 2 2

sposoby. Następnie wybieramy pierwszą cyfrę – możemy to zrobić na 7 sposobów (nie może być zerem, dwójką ani czwórką). Na koniec ostatnią z nieustalonych cyfr wybieramy na 8 sposobów (nie może być dwójką ani czwórką). W tym przypadku jest więc

35 ⋅3⋅7 ⋅8 = 5880

liczb spełniających warunki zdania.

Jeżeli teraz pierwszą cyfrą tworzonej liczby jest czwórka, to miejsca dla pozostałych trzech czwórek możemy wybrać na

( 7) 7 ⋅6 ⋅5 = ------- = 7 ⋅5 = 3 5 3 3!

sposobów. Potem na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla dwójek. Na koniec na każdym z pozostałych dwóch miejsc umieszczamy jedną z 8 cyfr. W tym przypadku jest więc

35 ⋅6 ⋅8⋅ 8 = 1344 0

liczb spełniających warunki zdania.

Jeżeli wreszcie na pierwszym miejscu umieścimy dwójkę, to na 7 sposób wybieramy miejsce dla drugiej dwójki. Na

( 6) 6 ⋅5⋅4 ⋅3 6 ⋅5⋅4 ⋅3 = ----------= ----------= 15 4 4! 24

sposobów wybieramy miejsce dla czwórek i na koniec na każdym z pozostałych dwóch miejsc umieszczamy jedną z 8 cyfr. W tym przypadku jest więc

7⋅ 15⋅8 ⋅8 = 6720

liczb spełniających warunki zdania.

W sumie jest więc

58 80+ 13440 + 672 0 = 26040

takich liczb.  
Odpowiedź: 26040

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!