Zadanie nr 2313973
Oblicz, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie cztery cyfry 4 i dokładnie dwie cyfry 2.
Rozwiązanie
Jak zwykle w zadaniach z cyframi musimy uważać na pierwszą cyfrę – żeby przypadkiem nie umieścić tam zera. Z tego powodu obliczenie, ile jest liczb spełniających warunki zadania, rozbijemy na trzy przypadki.
Załóżmy najpierw, że pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) nie jest dwójką ani czwórką. W takiej sytuacji miejsca dla czwórek możemy wybrać na
sposobów. Potem wybieramy miejsca dla dwójek – możemy to zrobić na
sposoby. Następnie wybieramy pierwszą cyfrę – możemy to zrobić na 7 sposobów (nie może być zerem, dwójką ani czwórką). Na koniec ostatnią z nieustalonych cyfr wybieramy na 8 sposobów (nie może być dwójką ani czwórką). W tym przypadku jest więc
liczb spełniających warunki zdania.
Jeżeli teraz pierwszą cyfrą tworzonej liczby jest czwórka, to miejsca dla pozostałych trzech czwórek możemy wybrać na
sposobów. Potem na
sposobów wybieramy miejsca dla dwójek. Na koniec na każdym z pozostałych dwóch miejsc umieszczamy jedną z 8 cyfr. W tym przypadku jest więc
liczb spełniających warunki zdania.
Jeżeli wreszcie na pierwszym miejscu umieścimy dwójkę, to na 7 sposób wybieramy miejsce dla drugiej dwójki. Na
sposobów wybieramy miejsce dla czwórek i na koniec na każdym z pozostałych dwóch miejsc umieszczamy jedną z 8 cyfr. W tym przypadku jest więc
liczb spełniających warunki zdania.
W sumie jest więc
takich liczb.
Odpowiedź: 26040
