Zadanie nr 3075926

Zastanówmy się jaka może być największa cyfra liczby ośmiocyfrowej o sumie cyfr równej 4?

Oczywiście żadna cyfra nie może być większa od 4 i jeżeli jedną z cyfr jest 4, to wszystkie pozostałe cyfry muszą być zerami. Jest tylko jedna taka liczba: 40000000.

Jeżeli największą cyfrą jest 3, to musi być jeszcze jedna jedynka i reszta to same zera. Policzmy ile jest takich liczb. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na dwa sposoby (może to być 3 lub 1), a drugą niezerową cyfrę możemy umieścić na jednej z 7 pozostałych pozycji. Jest więc

takich liczb.

Jeżeli największą cyfrą jest 2, to mamy dwie możliwości: albo są dwie dwójki, albo jedna dwójka i dwie jedynki. Jest 7 liczb z dwoma dwójkami (pierwsza musi stać na początku, a druga na jednym z pozostałych 7 miejsc). Policzmy ile jest liczb z jedną dwójką i dwoma jedynkami. Jeżeli dwójka jest na początku, to pozostałe dwie jedynki możemy umieścić na

sposobów, jest więc 21 takich liczb. Jeżeli na początku jest jedynka, to możliwych liczb jest

(wybieramy miejsce dla jedynki i potem dla dwójki).

Ostatnia możliwość to liczby składające się z czterech jedynek i czterech zer. Jedna jedynka musi być pierwszą cyfrą, a pozostałe 3 możemy umieścić na

sposobów.

W sumie jest więc

liczb spełniających warunki zadania.

Tym razem będziemy trochę sprytniejsi. Zauważmy, że każdą liczbę ośmiocyfrową o sumie liczby równej 4 możemy zakodować przy pomocy 4 kropek i 9 pionowych kresek, np. liczbę 10021000 może zakodować w postaci

(Pionowe kreski oddzielają kolejne cyfry liczby, a liczb kropek mówi nam o tym, ile jest równa dana cyfra.) Zauważmy, że przy takim sposobie kodowania mamy 10 ruchomych symboli (kresek i kropek). Tak jest, bo wszystkich symboli jest , ale skrajne kreski (oznaczające początek i koniec liczby) oraz pierwsza od lewej kropka nie mogą zmienić swojej pozycji (bo pierwsza cyfra liczby nie może być zerem). Pozostałe 10 symboli możemy natomiast rozmieszczać dowolnie i różne układy odpowiadają różnym liczbom.

Pozostało więc obliczyć, ile jest różnych układów 7 kresek i 3 kropek. To jest jednak łatwe: wystarczy wybrać miejsca dla 3 kropek. Jest więc

takich układów. Tyle samo jest interesujących nas liczb.  
Odpowiedź: 120