Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3333840

Ile jest liczb naturalnych siedmiocyfrowych, których suma cyfr jest równa 4?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zastanówmy się jaka może być największa cyfra liczby siedmiocyfrowej o sumie cyfr równej 4?

Oczywiście żadna cyfra nie może być większa od 4 i jeżeli jedną z cyfr jest 4, to wszystkie pozostałe cyfry muszą być zerami. Jest tylko jedna taka liczba: 4000000.

Jeżeli największą cyfrą jest 3, to musi być jeszcze jedna jedynka i reszta to same zera. Policzmy ile jest takich liczb. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na dwa sposoby (może to być 3 lub 1), a drugą niezerową cyfrę możemy umieścić na jednej z 6 pozostałych pozycji. Jest więc

2 ⋅6 = 12

takich liczb.

Jeżeli największą cyfrą jest 2, to mamy dwie możliwości: albo są dwie dwójki, albo jedna dwójka i dwie jedynki. Jest 6 liczb z dwoma dwójkami (pierwsza musi stać na początku, a druga na jednym z pozostałych 6 miejsc). Policzmy, ile jest liczb z jedną dwójką i dwoma jedynkami. Jeżeli dwójka jest na początku, to pozostałe dwie jedynki możemy umieścić na

( ) 6 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2

sposobów, jest więc 15 takich liczb. Jeżeli na początku jest jedynka, to możliwych liczb jest

6 ⋅5 = 30

(wybieramy miejsce dla jedynki i potem dla dwójki).

Ostatnia możliwość to liczby składające się z czterech jedynek i trzech zer. Jedna jedynka musi być pierwszą cyfrą, a pozostałe 3 możemy umieścić na

( ) 6 = 6⋅-5⋅4-= 20 3 2 ⋅3

sposobów.

W sumie są więc

1+ 1 2+ 6+ 1 5+ 30+ 20 = 84

liczby spełniające warunki zadania.  
Odpowiedź: 84

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!