Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3599508

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Miejsca dla trzech cyfr nieparzystych możemy wybrać na  5 (3) sposoby, ale musimy być trochę ostrożniejsi, bo pierwszą cyfrą nie może być 0.

Sposób I

Jeżeli pierwsza (najbardziej znacząca) cyfra liczby jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (nie może być 0). Potem na

( ) ( ) 4 = 4 = 4 3 1

sposoby wybieramy miejsca dla cyfr nieparzystych i każdą z 4 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 ⋅4⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 100 00

takich liczb.

Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla pozostałych cyfr nieparzystych i każdą z 4 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 ⋅6⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 187 50

takich liczb.

Wszystkich możliwości jest więc

100 00+ 18750 = 28750.

Sposób II

Zauważmy, że jeżeli dokładnie trzy cyfry są nieparzyste, to dokładnie dwie są parzyste.

Jeżeli pierwszą cyfrą utworzonej liczby jest liczba nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Wśród pozostałych cyfr mają być dwie cyfry parzyste – ich miejsce możemy wybrać na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 4 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

5⋅ 6⋅5 4 = 6⋅5 5.

takich liczb.

Jeżeli natomiast pierwsza cyfra jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby. Potem musimy jeszcze ustalić, gdzie ma być druga cyfra parzysta – możemy to zrobić na 4 sposoby. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 4 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

4 ⋅4 ⋅54 = 16 ⋅54.

takich liczb.

Wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest więc

6⋅5 5 + 1 6⋅54 = 18750 + 1000 0 = 28750 .

Sposób III

Wszystkich ciągów cyfr długości 5, w których są 3 cyfry nieparzyste jest

( ) ( ) 5 ⋅55 = 5 ⋅ 55 = 5-⋅4 ⋅55 = 10 ⋅55 3 2 2

(wybieramy miejsca dla cyfr nieparzystych a potem każdą cyfrę wybieramy na 5 sposobów). Wśród tych ciągów jest

( 4) ⋅54 = 4 ⋅54 3

ciągów, które zaczynają się zerem. W takim razie jest

 5 4 4 10⋅ 5 − 4⋅5 = 5 (50− 4) = 625 ⋅46 = 2 8750

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 28750

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!