Zadanie nr 4368082

Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których suma każdych trzech kolejnych cyfr jest równa 10?

Rozwiązanie

Powiedzmy, że kolejne cztery cyfry liczby, o jakiej mowa w treści zadania to a,b,c,d . W takim razie musimy mieć

a+ b+ c = 10 = b + c+ d ⇒ a = d .

W takim razie cyfry takiej liczby muszą się cyklicznie powtarzać - cyfry 1,4 i 7 muszą być identyczne, podobnie dla cyfr o numerach 2,5,8 i 3,6,9. To oznacza, że liczba musi mieć postać

abcabcabc.

Zauważmy, że w liczbie tej postaci suma dowolnych trzech kolejnych cyfr jest równa a + b + c , więc wystarczy zagwarantować, aby a + b+ c = 10 , a wtedy automatycznie liczba ta będzie spełniać warunki zadania.

Obliczmy na ile sposobów można wybrać cyfry a ⁄= 0,b,c , tak aby a + b + c = 10 .

Sposób I

Oczywiście tylko jedna spośród cyfr a,b,c może być równa zero i nie może to być . Obliczmy ile jest możliwości z jednym zerem. Liczbę możemy wybrać na 9 sposobów, drugą niezerową liczbę mamy już wyznaczoną jednoznacznie (bo suma ma być równa 10), ale musimy jeszcze ustalić, czy jest to , czy . Jest więc

9 ⋅2 = 18

takich liczb.

Dalej załóżmy już, że mamy tylko niezerowe cyfry.

Obliczmy teraz ile jest możliwości z dwoma równymi cyframi (nie mogą być trzy równe cyfry). Są 4 sposoby rozpisania 10-ki w ten sposób:

10 = 1 + 1 + 8 10 = 2 + 2 + 6 10 = 3 + 3 + 4 10 = 4 + 4 + 2

i każdy z tych rozkładów daje 3 możliwe trójki liczb (a,b,c) – wystarczy bowiem ustalić, które dwie z liczb a,b,c mają być równe i wtedy trzecia liczba jest już jednoznacznie wyznaczona. Jest więc

3 ⋅4 = 12

układów z dwoma równymi cyframi.

Pozostało obliczyć liczbę trójek (a,b,c) , w których żadne dwie cyfry nie są równe. Możemy 10 rozpisać w ten sposób na 4 sposoby

10 = 7 + 2 + 1 10 = 6 + 3 + 1 10 = 5 + 4 + 1 10 = 5 + 3 + 2

i każdy z tych rozkładów daje 3! = 6 możliwych trójek liczb (a,b,c) . Są więc

4 ⋅6 = 24

liczby tej postaci.

W sumie są więc

18 + 12 + 24 = 54

liczby spełniające warunki zadania.

Sposób II

Zauważmy liczba jest jednoznacznie wyznaczona przez wybór i oraz warunek c = 10 − a − b . Wystarczy zatem ustalić na ile sposobów można wybrać i tak, aby a+ b ≤ 10 .

Jeżeli a = 1 , to możemy wybrać na 10 sposobów; jeżeli a = 2 , to możemy wybrać na 9 sposobów (bo nie może być równe 9), itd. Jeżeli a = 9 , to b = 0 lub b = 1 . W sumie są więc