Zadanie nr 5400508
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
Rozwiązanie
Miejsca dla trzech cyfr nieparzystych możemy wybrać na sposobów, ale musimy być trochę ostrożniejsi, bo pierwszą cyfrą nie może być 0.
Sposób I
Jeżeli pierwsza (najbardziej znacząca) cyfra liczby jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (nie może być 0). Potem na 4 sposoby możemy wybrać miejsce dla drugiej cyfry parzystej, a samą cyfrę możemy wybrać na 4 sposoby (musi być różna od pierwszej). Cyfry nieparzyste możemy wybrać na
![5⋅ 4⋅3 = 60](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR1x.png)
sposobów (bo nie mogą się powtarzać). Jest więc
![4⋅ 4⋅4 ⋅60 = 3840](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR2x.png)
liczb z pierwszą cyfrą parzystą.
Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem na
![( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR3x.png)
sposobów wybieramy miejsca dla pozostałych cyfr nieparzystych, a same cyfry nieparzyste uzupełniamy na sposobów. Cyfry parzyste wybieramy na
sposobów. Jest więc
![5 ⋅6 ⋅12⋅ 20 = 720 0](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR6x.png)
liczb z pierwszą cyfrą nieparzystą.
Wszystkich możliwości jest więc
![38 40+ 7200 = 1 1040.](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR7x.png)
Sposób II
Wszystkich ciągów różnych cyfr długości 5, w których są 2 cyfry parzyste jest
![( ) 5 ⋅5 ⋅4 ⋅5 ⋅4⋅3 = 10 ⋅1200 = 1 2000. 2](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR8x.png)
(wybieramy miejsca dla cyfr parzystych, ustalmy cyfry parzyste, a na koniec ustalmy cyfry nieparzyste). Wśród tych ciągów jest
![( ) 4 ⋅4 ⋅5 ⋅4⋅ 3 = 4 ⋅240 = 96 0 1](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR9x.png)
ciągów, które zaczynają się zerem (wybieramy miejsce dla drugiej cyfry parzystej, wybieramy tą cyfrę, a na koniec wybieramy cyfry nieparzyste). W takim razie jest
![12000 − 960 = 11040](https://img.zadania.info/zad/5400508/HzadR10x.png)
liczb spełniających warunki zadania.
Odpowiedź: 11040