/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Zbiory liczb

Zadanie nr 5400508

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

Rozwiązanie

Miejsca dla trzech cyfr nieparzystych możemy wybrać na 5 (3) sposobów, ale musimy być trochę ostrożniejsi, bo pierwszą cyfrą nie może być 0.

Sposób I

Jeżeli pierwsza (najbardziej znacząca) cyfra liczby jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (nie może być 0). Potem na 4 sposoby możemy wybrać miejsce dla drugiej cyfry parzystej, a samą cyfrę możemy wybrać na 4 sposoby (musi być różna od pierwszej). Cyfry nieparzyste możemy wybrać na

5⋅ 4⋅3 = 60

sposobów (bo nie mogą się powtarzać). Jest więc

4⋅ 4⋅4 ⋅60 = 3840

liczb z pierwszą cyfrą parzystą.

Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla pozostałych cyfr nieparzystych, a same cyfry nieparzyste uzupełniamy na 4 ⋅3 = 12 sposobów. Cyfry parzyste wybieramy na 5 ⋅4 = 2 0 sposobów. Jest więc

5 ⋅6 ⋅12⋅ 20 = 720 0

liczb z pierwszą cyfrą nieparzystą.

Wszystkich możliwości jest więc

38 40+ 7200 = 1 1040.

Sposób II

Wszystkich ciągów różnych cyfr długości 5, w których są 2 cyfry parzyste jest

( ) 5 ⋅5 ⋅4 ⋅5 ⋅4⋅3 = 10 ⋅1200 = 1 2000. 2

(wybieramy miejsca dla cyfr parzystych, ustalmy cyfry parzyste, a na koniec ustalmy cyfry nieparzyste). Wśród tych ciągów jest

( ) 4 ⋅4 ⋅5 ⋅4⋅ 3 = 4 ⋅240 = 96 0 1

ciągów, które zaczynają się zerem (wybieramy miejsce dla drugiej cyfry parzystej, wybieramy tą cyfrę, a na koniec wybieramy cyfry nieparzyste). W takim razie jest

12000 − 960 = 11040

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 11040

Wersja PDF