Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5410484

Karol do szyfrowania swoich danych postanowił używać pięciocyfrowych liczb naturalnych n , które mają co najmniej jedną z dwóch cech: w zapisie dziesiętnym liczby n występuje przynajmniej jedna z cyfr: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lub liczba n nie jest podzielna przez 3. Ile jest takich liczb pięciocyfrowych?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Liczby, które nie są podzielne przez 3 łatwo policzyć, ale z liczbami, które zawierają jedną z cyfr 3,...,9 jest dużo większy problem. Dlatego spróbujmy się zastanowić jakie liczby pięciocyfrowe nie spełniają warunków zadania? Są to dokładnie liczby, które można zapisać przy pomocy cyfr 0, 1, 2, i które dzielą się przez 3. Obliczmy ile ich jest.

Cyfry takiej liczby muszą być równe (na razie nie zwracamy uwagi na ich kolejność):

 a : 0 ,0,0,1,2 b : 0 ,0,1,1,1 c : 0 ,0,2,2,2 d : 0 ,1,1,2,2 e : 1 ,1,1,1,2 f : 1 ,2,2,2,2.

Obliczymy kolejno, ile jest możliwości utworzenia liczb o takich cyfrach. Najprostsze są przypadki e i f – w każdym z nich jest 5 możliwości ustawienia jednej wyróżnionej cyfry. W przypadkach b i c na początku musimy umieścić niezerową cyfrę i potem mamy

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

możliwości umieszczenia dwóch zer. W przypadku a na początku umieszczamy 1 lub 2 i potem mamy 4 możliwości umieszczenia drugiej niezerowej cyfry, więc jest 2 ⋅4 = 8 liczb tego typu. Pozostał przypadek d – zajmijmy się najpierw liczbami, które zaczynają się od jedynki. Wtedy na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów umieszczamy dwójki i na dwa sposoby możemy umieścić pozostałe dwie cyfry. Jest więc 2⋅6 = 12 liczb typu d zaczynających się od jedynki. Oczywiście tyle samo liczb zaczyna się od dwójki. W sumie są więc

5+ 5+ 6+ 6+ 8 + 1 2+ 1 2 = 54

liczby pięciocyfrowe, które nie spełniają warunków zadania. Wszystkich liczb pięciocyfrowych jest

99999 − 999 9 = 9000 0,

więc jest

900 00− 54 = 899 46

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 89946

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!