Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6104994

Oblicz, ile jest dwunastocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr jest równa 8 i jednocześnie w ich zapisie nie występują cyfry 1 i 4.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy po pierwsze, że z treści zadania wynika, że wśród cyfr tworzonej liczby nie ma również cyfr: 9 i 7. Brak 9–ki jest oczywisty, a brak 7–ki wynika z braku 1–ki. Ponadto, jest tylko jedna liczba z cyfrą 8:

800 0000000 00

Pozostało nam zatem 5 cyfr: 0, 2, 3, 5, 6.

Jeżeli w utworzonej liczbie jest 6–stka, to jest jeszcze jedna niezerowa cyfra i jest nią 2–ka. Oczywiście jedna z tych cyfr musi być umieszczona jako pierwsza (najbardziej znacząca), a drugą możemy umieścić na 11 sposobów. Są więc

2⋅1 1 = 22

takie liczby (mnożymy przez 2, bo przy ustalonych miejscach niezerowych cyfr możemy te cyfry umieścić na 2 sposoby).

Zauważmy, że identyczna sytuacja ma miejsce, gdy jedną z cyfr tworzonej liczby jest 5–ka. Wtedy jest jeszcze jedna niezerowa cyfra i jest nią 3–ka. Jak wyżej, są

2⋅1 1 = 22

takie liczby.

Jeżeli jedną z cyfr w utworzonej liczbie jest 3–ka i nie ma 5–ki, to 3–ki muszą być dwie i oprócz tego musi być jeszcze jedna 2–ka. Jeżeli dwójka jest pierwszą cyfrą, to trójki możemy umieścić na

( ) 11 = 11⋅-10-= 55 2 2

sposobów. Jeżeli natomiast na pierwszym miejscu jest 3–ka, to pozostałe dwie niezerowe cyfry możemy umieścić na

( ) 11 2 ⋅2 = 55 ⋅2 = 110

sposobów (wybieramy miejsca dla tych dwóch niezerowych cyfr, a potem umieszczamy te cyfry).

Pozostała zatem sytuacja, gdy w liczbie mamy cztery dwójki i resztę zer. Oczywiście jedna dwójka musi być na początku, a pozostałe 3 możemy umieścić na

( ) 11 11-⋅10-⋅9 3 = 3! = 11⋅5 ⋅3 = 1 65

sposobów.

W sumie jest więc

1 + 22 + 22 + 55 + 1 10+ 165 = 37 5

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 375

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!