/Szkoła średnia/Kombinatoryka/Zbiory liczb

Zadanie nr 6261209

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ile jest takich czwórek liczb całkowitych i dodatnich (a,b,c,d) , które spełniają równanie ab + bc + cd + da = 1004 .

Rozwiązanie

Podane równanie możemy zapisać w postaci

b(a+ c)+ d (c+ a ) = 1004 (a+ c)(b+ d ) = 4⋅ 251.

Liczba 251 jest liczbą pierwszą, więc a+ c może być równe 2,4,251,502. Żeby trochę sobie te rachunki uprościć załóżmy, że a+ c < b+ d i na koniec pomnożymy otrzymaną liczbę możliwości przez 2.

Zatem a+ c może być równe 2 lub 4.

Jeżeli a+ c = 2 to a = c = 1 i b+ d = 502 . Liczbę b możemy wybrać na 501 sposobów (między 1 a 501), a liczba d jest już wyznaczona jednoznacznie. Mamy zatem w tym przypadku 501 możliwości.

Jeżeli a+ c = 4 , to parę (a,c) można wybrać na 3 sposoby ((1,3),(2 ,2),(3,1) ), a parę b + d = 25 1 na 250 sposobów. Razem mamy więc w tym przypadku 3 ⋅250 = 750 sposobów.

W sumie jest więc

2 (501+ 750) = 2 ⋅125 1 = 2502

możliwości.  
Odpowiedź: 2502 czwórek

Wersja PDF