Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6517455

Oblicz, ile jest dziewięciocyfrowych liczb naturalnych parzystych, w zapisie których każda z cyfr: 5 i 3 występuje dokładnie 3 razy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Obliczmy najpierw ile jest liczb, w których pierwsza cyfra nie jest ani 3-ką ani 5-ką. Miejsca dla 3-ek możemy wybrać na

( ) 7 = 7⋅-6⋅5-= 35 3 3!

sposobów (3-ki nie mogą być ani na początku, ani na końcu). Gdy już ustaliliśmy, gdzie są 3-ki, to 5-ki możemy umieścić na

( ) 4 3 = 4

sposoby. Gdy już są ustalone miejsca dla 3-ek i 5-ek, wybieramy pierwszą cyfrę na 7 sposobów (nie może być 0, 3 ani 5), ostatnią na 5 sposobów (musi być parzysta) i ostatnią wolną cyfrę na 8 sposobów (nie może być równa ani 3, ani 5). W sumie jest więc w tym przypadku

35 ⋅4⋅ 7⋅5 ⋅8 = 39 200

możliwości.

Jeżeli natomiast na pierwszym miejscu jest np. 3-ka, to najpierw wybieramy miejsca dla 5-ek, możemy to zrobić na

( ) 7 3 = 35

sposobów. Potem wybieramy miejsca dla pozostałych dwóch 3-ek, możemy to zrobić na

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów. Na koniec wybieramy cyfrę jedności na 5 sposobów i każdą z ostatnich dwóch wolnych cyfr na 8 sposobów (nie mogą być równe ani 3, ani 5). W sumie jest więc w tym przypadku

35 ⋅6⋅ 5⋅8 ⋅8 = 67 200

liczb.

Liczb z 5-ką na początku jest dokładnie tyle samo, ile liczb z 3-ką na początku (bo 3 i 5 pełnią dokładnie taką samą rolę), więc w sumie jest

39200 + 672 00+ 67200 = 1 73600

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 173600

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!