Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6974643

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zastanówmy się jaka może być największa cyfra liczby stucyfrowej o sumie cyfr równej 4?

Oczywiście żadna cyfra nie może być większa od 4 i jeżeli jedną z cyfr jest 4, to wszystkie pozostałe cyfry muszą być zerami. Jest tylko jedna taka liczba: 40 0...00 .

Jeżeli największą cyfrą jest 3, to musi być jeszcze jedna jedynka i reszta to same zera. Policzmy ile jest takich liczb. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na dwa sposoby (może to być 3 lub 1), a drugą niezerową cyfrę możemy umieścić na jednej z 99 pozostałych pozycji. Jest więc

2 ⋅99 = 19 8

takich liczb.

Jeżeli największą cyfrą jest 2, to mamy dwie możliwości: albo są dwie dwójki, albo jedna dwójka i dwie jedynki. Jest 99 liczb z dwoma dwójkami (pierwsza musi stać na początku, a druga na jednym z pozostałych 99 miejsc). Obliczmy, ile jest liczb z jedną dwójką i dwoma jedynkami. Jeżeli dwójka jest na początku, to pozostałe dwie jedynki możemy umieścić na

( ) 99 9 9⋅9 8 = ------- = 4851 2 2

sposobów, jest więc 4851 takich liczb. Jeżeli na początku jest jedynka, to możliwych liczb jest

99 ⋅98 = 97 02

(wybieramy miejsce dla jedynki i potem dla dwójki).

Ostatnia możliwość to liczby składające się z czterech jedynek i 96 zer. Jedna jedynka musi być pierwszą cyfrą, a pozostałe 3 możemy umieścić na

( ) 99 = 9-9⋅98-⋅97-= 15684 9 3 2 ⋅3

sposobów.

W sumie jest więc

1+ 1 98+ 99+ 4851 + 970 2+ 156849 = 171700

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 171700

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!