Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7055337

Ze zbioru liczb {1,2,...,2n + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby (nie uwzględniamy kolejności). Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:

  • ich różnica będzie liczbą parzystą,
  • suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Aby różnica była liczbą parzystą to obie liczby muszą być parzyste bądź nieparzyste. Liczby nieparzyste w podanym przedziale to
    1 = 2 ⋅0 + 1, 3 = 2 ⋅1+ 1,...,2n + 5 = 2(n + 2)+ 1 .

    Jest zatem tych liczb n + 3 . Podobnie, liczb parzystych jest n+ 2 . Mamy więc

    (n + 3) (n + 2) (n + 3)(n + 2) (n+ 2)(n + 1) + = ---------------+ ---------------= 2 2 2 2 (n+--2)(2n-+-4)- 2 = 2 = (n+ 2) .

    takich par.  
    Odpowiedź:  2 (n + 2)

  • Kiedy suma kwadratów dwóch liczb jest podzielna przez 4? Na pewno muszą być tej samej parzystości. Jeżeli obie są nieparzyste, czyli np. 2n + 1 i 2m + 1 , to
    (2n + 1)2 + (2m + 1)2 = 4(n2 + n + m 2 + m )+ 2.

    A więc liczba ta nie dzieli się przez 4. Zatem obie liczby muszą być parzyste. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że jest

    ( ) n + 2 = (n-+-2-)(n+--1) 2 2

    takich par.  
    Odpowiedź: (n+-2)(2n+-1)-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!