Zadanie nr 7055337

Ze zbioru liczb {1,2,...,2n + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby (nie uwzględniamy kolejności). Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:

ich różnica będzie liczbą parzystą,
suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?

Rozwiązanie

Aby różnica była liczbą parzystą to obie liczby muszą być parzyste bądź nieparzyste. Liczby nieparzyste w podanym przedziale to
$1 = 2 ⋅0 + 1, 3 = 2 ⋅1+ 1,...,2n + 5 = 2(n + 2)+ 1 .$

Jest zatem tych liczb . Podobnie, liczb parzystych jest . Mamy więc

$(n + 3) (n + 2) (n + 3)(n + 2) (n+ 2)(n + 1) + = ---------------+ ---------------= 2 2 2 2 (n+--2)(2n-+-4)- 2 = 2 = (n+ 2) .$

takich par.
Odpowiedź:
Kiedy suma kwadratów dwóch liczb jest podzielna przez 4? Na pewno muszą być tej samej parzystości. Jeżeli obie są nieparzyste, czyli np. i , to
$(2n + 1)2 + (2m + 1)2 = 4(n2 + n + m 2 + m )+ 2.$

A więc liczba ta nie dzieli się przez 4. Zatem obie liczby muszą być parzyste. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że jest

$( ) n + 2 = (n-+-2-)(n+--1) 2 2$

takich par.
Odpowiedź: