Zadanie nr 7472633

Zauważmy najpierw, że

więc utworzone liczby muszą się dzielić przez 3, 4 i 5. Oczywiście ostatnią cyfrą utworzonej liczby musi być 0. Dodatkowo liczba ma być podzielna przez 4, więc ostanie dwie cyfry to albo: 00, albo 20.

Zajmijmy się najpierw przypadkiem, gdy ostanie dwie cyfry to 00. W tej sytuacji suma pierwszych 4 cyfr musi być podzielna przez 3 (bo wtedy cała liczba będzie się dzielić przez 3). Te 4 cyfry mogą być równe (na razie nie zwracamy uwagi na ich kolejność):

Obliczymy kolejno, ile jest możliwości utworzenia liczb o takich cyfrach. W pierwszym przypadku jest

takich liczb (na dwa sposoby wybieramy pierwszą niezerową cyfrę i umieszczamy ją na początku tworzonej liczby, potem na 3 sposoby możemy umieścić drugą niezerową cyfrę, na koniec na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy zera).

Są 3 liczby drugiego i 3 liczby trzeciego rodzaju (w każdym z tych przypadków na 3 sposoby możemy umieścić 0).

Jeżeli chodzi o ostatnią możliwość, to jest

takich liczb (ustalamy miejsca dla jedynek i na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy dwójki).

W sumie jest więc

liczb z końcówką 00.

Zajmijmy się teraz drugim przypadkiem, gdy liczba kończy się cyframi 20. W tej sytuacji suma pierwszych czterech cyfr musi dawać resztę 1 przy dzieleniu przez 3 (czyli w naszej sytuacji musi być równa: 1, 4 lub 7), więc muszą to być cyfry

Jest jedna liczba pierwszego i czwartego rodzaju. Są 3 liczby drugiego rodzaju (na początku musi być dwójka i potem mamy trzy sposoby umieszczenia drugiej dwójki). Są cztery liczby piątego rodzaju (wybieramy miejsce dla jedynki). Pozostał najciekawszy przypadek liczb trzeciego rodzaju. W takich liczbach albo na początku mamy 2 i wtedy są trzy sposoby umieszczenia zera, albo na początku jest jeden i wtedy jest możliwości umieszczenia pozostałych 3 cyfr. Jest więc 9 liczb trzeciego rodzaju i w sumie jest

liczb z końcówką 20.

Razem jest

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 36