Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7472633

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy sześciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 60. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

60 = 3 ⋅4⋅ 5,

więc utworzone liczby muszą się dzielić przez 3, 4 i 5. Oczywiście ostatnią cyfrą utworzonej liczby musi być 0. Dodatkowo liczba ma być podzielna przez 4, więc ostanie dwie cyfry to albo: 00, albo 20.

Zajmijmy się najpierw przypadkiem, gdy ostanie dwie cyfry to 00. W tej sytuacji suma pierwszych 4 cyfr musi być podzielna przez 3 (bo wtedy cała liczba będzie się dzielić przez 3). Te 4 cyfry mogą być równe (na razie nie zwracamy uwagi na ich kolejność):

0,0,1,2 0,1,1,1 0,2,2,2 1,1,2,2.

Obliczymy kolejno, ile jest możliwości utworzenia liczb o takich cyfrach. W pierwszym przypadku jest

2⋅ 3 = 6

takich liczb (na dwa sposoby wybieramy pierwszą niezerową cyfrę i umieszczamy ją na początku tworzonej liczby, potem na 3 sposoby możemy umieścić drugą niezerową cyfrę, na koniec na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy zera).

Są 3 liczby drugiego i 3 liczby trzeciego rodzaju (w każdym z tych przypadków na 3 sposoby możemy umieścić 0).

Jeżeli chodzi o ostatnią możliwość, to jest

( ) 4 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

takich liczb (ustalamy miejsca dla jedynek i na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy dwójki).

W sumie jest więc

6+ 3+ 3+ 6 = 18

liczb z końcówką 00.

Zajmijmy się teraz drugim przypadkiem, gdy liczba kończy się cyframi 20. W tej sytuacji suma pierwszych czterech cyfr musi dawać resztę 1 przy dzieleniu przez 3 (czyli w naszej sytuacji musi być równa: 1, 4 lub 7), więc muszą to być cyfry

0,0,0,1 0,0,2,2 0,1,1,2 1,1,1,1 1,2,2,2.

Jest jedna liczba pierwszego i czwartego rodzaju. Są 3 liczby drugiego rodzaju (na początku musi być dwójka i potem mamy trzy sposoby umieszczenia drugiej dwójki). Są cztery liczby piątego rodzaju (wybieramy miejsce dla jedynki). Pozostał najciekawszy przypadek liczb trzeciego rodzaju. W takich liczbach albo na początku mamy 2 i wtedy są trzy sposoby umieszczenia zera, albo na początku jest jeden i wtedy jest 3! = 6 możliwości umieszczenia pozostałych 3 cyfr. Jest więc 9 liczb trzeciego rodzaju i w sumie jest

1+ 1+ 3+ 4+ 9 = 18

liczb z końcówką 20.

Razem jest

18+ 18 = 36

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 36

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!