Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8032845

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Liczb, w których nie ma żadnej dwójki jest

4 ⋅8 ⋅9 ⋅9⋅9 = 23328

(wybieramy najpierw ostatnią cyfrę, która musi być liczbą parzystą, potem wybieramy pierwszą cyfrę, która nie może być zerem, a pozostałe 3 cyfry wybieramy dowolnie – w każdym kroku pamiętamy o tym, że nie możemy wybrać dwójki).

Obliczmy teraz, ile jest liczb z jedną dwójką. Są w tym przypadku trzy różne sytuacje. Jeżeli dwójka jest ostatnią cyfrą, to możemy dobrać do niej pozostałe cyfry na

8 ⋅9 ⋅9⋅ 9 = 5832

sposoby (nie może być dwójki i na początku nie może być zero). Jeżeli dwójka jest na początku, to pozostałe cyfry możemy dobrać na

4 ⋅9 ⋅9⋅ 9 = 2916

sposobów. Jeżeli wreszcie dwójka nie jest ani na początku, ani na końcu, to jej miejsce możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry możemy dobrać na 4 ⋅8 ⋅9⋅9 sposoby. Jest więc

3 ⋅4⋅ 8⋅9 ⋅9 = 77 76

liczb z dwójką w środku.

W sumie mamy więc

5832 + 29 16+ 7776 = 16 524

liczb z jedną dwójką.

Zajmijmy się teraz liczbami z dwoma dwójkami. Jeżeli dwójki są na początku i na końcu, to pozostałe 3 cyfry możemy wybrać na

9 ⋅9 ⋅9 = 729

sposobów. Jeżeli dwójka jest na końcu, ale nie na początku, to miejsce drugiej dwójki możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry dobieramy na 8⋅9 ⋅9 sposobów, więc są

3 ⋅8 ⋅9⋅ 9 = 1944

takie liczby. Jeżeli dwójka jest na początku, ale nie na końcu, to miejsce drugiej dwójki możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry dobieramy na 4⋅9 ⋅9 sposobów, więc są

3 ⋅4⋅9 ⋅9 = 972

takie liczby. Jeżeli wreszcie nie ma dwójki ani na początku, ani na końcu, to miejsca dla dwójek możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry dobieramy na 4 ⋅8 ⋅9 sposobów, więc są

3 ⋅4⋅8 ⋅9 = 864

takie liczby.

W sumie jest więc

7 29+ 1944 + 972 + 86 4 = 4509

liczb z dwoma dwójkami.

Liczb spełniających warunki zadania jest

2 3328 + 1652 4+ 4 509 = 443 61.

Sposób II

Tym razem obliczenia wykonamy trochę ’na około’, tzn. obliczymy ile jest liczb, które nie spełniają warunków zadania.

Wszystkich liczb parzystych pięciocyfrowych jest

9⋅1 0⋅1 0⋅10 ⋅5 = 4 5000

(na początku nie może być 0). Wśród nich jest 1 składająca się z samych dwójek.

Zastanówmy się teraz, ile jest liczb zawierających 4 dwójki? Jeżeli cyfra, która nie jest dwójką jest na końcu, to są 4 takie liczby. Jeżeli cyfra, która nie jest dwójką jest na początku, to jest 8 takich liczb. Jeżeli wreszcie cyfra, która nie jest dwójką nie jest ani na końcu, ani na początku, to jej miejsce możemy wybrać na 3 sposoby, a samą cyfrę na 9 sposobów, więc jest 3 ⋅9 = 2 7 takich liczb. W sumie jest więc

4 + 8 + 27 = 3 9

liczb z czterema dwójkami.

Obliczamy teraz, ile jest liczb z trzema dwójkami. Jeżeli dwójki są na początku i na końcu, to na 3 sposoby wybieramy miejsce dla trzeciej dwójki i na 9 ⋅9 = 81 sposobów dobieramy dwie pozostałe cyfry. Są więc

3 ⋅81 = 24 3

takie liczby. Jeżeli dwójka jest na końcu, ale nie na początku, to na 8 sposobów wybieramy pierwszą cyfrę, na 3 sposoby wybieramy miejsce drugiej cyfry, która nie jest dwójką i na 9 sposobów wybieramy tę cyfrę. Jest więc

8 ⋅3 ⋅9 = 216

takich liczb. Jeżeli dwójka jest na początku, ale nie na końcu, to ostatnią cyfrę wybieramy na 4 sposoby, na 3 sposoby wybieramy miejsce drugiej cyfry, która nie jest dwójką i na 9 sposobów wybieramy tę cyfrę. Jest więc

4 ⋅3 ⋅9 = 108

takich liczb. Jeżeli wreszcie nie ma dwójki ani na początku, ani na końcu, to wybieramy tylko na 4 sposoby ostatnią cyfrę i na 8 sposobów pierwszą. Są więc

4 ⋅8 = 32

takie liczby.

W sumie jest więc

243 + 2 16+ 108 + 32 = 59 9

liczb z trzema dwójkami.

Liczb spełniających warunki zadania jest

45000 − 1 − 39 − 59 9 = 44361 .

 
Odpowiedź: 44361

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!