Zadanie nr 8032845

Liczb, w których nie ma żadnej dwójki jest

(wybieramy najpierw ostatnią cyfrę, która musi być liczbą parzystą, potem wybieramy pierwszą cyfrę, która nie może być zerem, a pozostałe 3 cyfry wybieramy dowolnie – w każdym kroku pamiętamy o tym, że nie możemy wybrać dwójki).

Obliczmy teraz, ile jest liczb z jedną dwójką. Są w tym przypadku trzy różne sytuacje. Jeżeli dwójka jest ostatnią cyfrą, to możemy dobrać do niej pozostałe cyfry na

sposoby (nie może być dwójki i na początku nie może być zero). Jeżeli dwójka jest na początku, to pozostałe cyfry możemy dobrać na

sposobów. Jeżeli wreszcie dwójka nie jest ani na początku, ani na końcu, to jej miejsce możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry możemy dobrać na sposoby. Jest więc

liczb z dwójką w środku.

W sumie mamy więc

liczb z jedną dwójką.

Zajmijmy się teraz liczbami z dwoma dwójkami. Jeżeli dwójki są na początku i na końcu, to pozostałe 3 cyfry możemy wybrać na

sposobów. Jeżeli dwójka jest na końcu, ale nie na początku, to miejsce drugiej dwójki możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry dobieramy na sposobów, więc są

takie liczby. Jeżeli dwójka jest na początku, ale nie na końcu, to miejsce drugiej dwójki możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry dobieramy na sposobów, więc są

takie liczby. Jeżeli wreszcie nie ma dwójki ani na początku, ani na końcu, to miejsca dla dwójek możemy wybrać na 3 sposoby, a pozostałe cyfry dobieramy na sposobów, więc są

takie liczby.

W sumie jest więc

liczb z dwoma dwójkami.

Liczb spełniających warunki zadania jest

Tym razem obliczenia wykonamy trochę ’na około’, tzn. obliczymy ile jest liczb, które nie spełniają warunków zadania.

Wszystkich liczb parzystych pięciocyfrowych jest

(na początku nie może być 0). Wśród nich jest 1 składająca się z samych dwójek.

Zastanówmy się teraz, ile jest liczb zawierających 4 dwójki? Jeżeli cyfra, która nie jest dwójką jest na końcu, to są 4 takie liczby. Jeżeli cyfra, która nie jest dwójką jest na początku, to jest 8 takich liczb. Jeżeli wreszcie cyfra, która nie jest dwójką nie jest ani na końcu, ani na początku, to jej miejsce możemy wybrać na 3 sposoby, a samą cyfrę na 9 sposobów, więc jest takich liczb. W sumie jest więc

liczb z czterema dwójkami.

Obliczamy teraz, ile jest liczb z trzema dwójkami. Jeżeli dwójki są na początku i na końcu, to na 3 sposoby wybieramy miejsce dla trzeciej dwójki i na sposobów dobieramy dwie pozostałe cyfry. Są więc

takie liczby. Jeżeli dwójka jest na końcu, ale nie na początku, to na 8 sposobów wybieramy pierwszą cyfrę, na 3 sposoby wybieramy miejsce drugiej cyfry, która nie jest dwójką i na 9 sposobów wybieramy tę cyfrę. Jest więc

takich liczb. Jeżeli dwójka jest na początku, ale nie na końcu, to ostatnią cyfrę wybieramy na 4 sposoby, na 3 sposoby wybieramy miejsce drugiej cyfry, która nie jest dwójką i na 9 sposobów wybieramy tę cyfrę. Jest więc

takich liczb. Jeżeli wreszcie nie ma dwójki ani na początku, ani na końcu, to wybieramy tylko na 4 sposoby ostatnią cyfrę i na 8 sposobów pierwszą. Są więc

takie liczby.

W sumie jest więc

liczb z trzema dwójkami.

Liczb spełniających warunki zadania jest

 
Odpowiedź: 44361