Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8218627

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 36.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw w jaki sposób możemy 36 napisać jako iloczyn czterech cyfr.

36 = 9⋅4 ⋅1 ⋅1 36 = 9⋅2 ⋅2 ⋅1 36 = 6⋅6 ⋅1 ⋅1 36 = 6⋅3 ⋅2 ⋅1 36 = 4⋅3 ⋅3 ⋅1 36 = 3⋅3 ⋅2 ⋅2.

Zajmijmy się najpierw pierwszą sytuacją. Miejsce dla 9-ki możemy wybrać na 4 sposoby, potem na 3 sposoby wybieramy miejsce dla 4-ki i na pozostałych 2 miejscach umieszczamy 1-ki. W sumie jest więc

4 ⋅3 = 12

liczb tej postaci. Zauważmy ponadto, że dokładnie taki sam rachunek mamy w przypadku rozkładów

36 = 9⋅2 ⋅2 ⋅1 36 = 4⋅3 ⋅3 ⋅1.

(wybieramy miejsca dla 9-ki i 1-ki, a potem uzupełniamy 2-kami, podobnie dla drugiego rozkładu).

W przypadku trzeciego rozkładu, musimy wybrać miejsca dla 6-ek, a na pozostałych miejscach wpisujemy 1-ki. Możemy to zrobić na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów. Jest więc 6 takich liczb. Dokładnie tyle samo jest liczb z ostatnim rozkładem (na 6 sposobów wybieramy miejsca dla 3-ek).

Pozostał 4 rozkład – w tym rozkładzie żadne cyfry się nie powtarzają, więc są

4! = 24

możliwości ustawienia cyfr.

W sumie jest więc

12+ 12+ 12+ 6+ 6+ 24 = 72

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 72

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!