Zadanie nr 9240154

Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, których suma cyfr jest równa 5?

Rozwiązanie

Wypiszmy na ile sposobów 5 może być sumą niezerowych cyfr.

5 = 5 5 = 4 + 1 5 = 3 + 2 5 = 3 + 1 + 1 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 1 + 1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Pierwszemu i ostatniemu rozkładowi odpowiadają liczby 50000 i 11111. Łatwo jest też obliczyć, ile jest liczb odpowiadających przedostatniemu rozkładowi: na 4 sposoby wybieramy miejsce dla 0 (nie może być na początku), potem na 4 sposoby miejsce dla 2, a na pozostałych miejscach umieszczamy 1–ki. W sumie jest więc 4 ⋅4 = 1 6 takich liczb.

Obliczmy teraz, ile jest liczb odpowiadających rozkładowi 5 = 4 + 1 . Na pierwszym miejscu możemy umieścić 4 lub 1, a drugą cyfrę niezerową możemy umieścić na jednym z pozostałych 4 miejsc. Wszystkie pozostałe cyfry to zera. Jest więc 2⋅4 = 8 takich liczb. Zauważmy, że dokładnie ten sam rachunek możemy zastosować w przypadku liczb odpowiadających rozkładowi 5 = 3+ 2 .

Pozostały jeszcze rozkłady 5 = 3+ 1+ 1 i 5 = 2 + 2+ 1 . W obu przypadkach będzie działał dokładnie ten sam rachunek, więc skoncentrujmy się na 5 = 3 + 1+ 1 . Miejsca dla zer możemy wybrać na