Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9240154

Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, których suma cyfr jest równa 5?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wypiszmy na ile sposobów 5 może być sumą niezerowych cyfr.

5 = 5 5 = 4 + 1 5 = 3 + 2 5 = 3 + 1 + 1 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 1 + 1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Pierwszemu i ostatniemu rozkładowi odpowiadają liczby 50000 i 11111. Łatwo jest też obliczyć, ile jest liczb odpowiadających przedostatniemu rozkładowi: na 4 sposoby wybieramy miejsce dla 0 (nie może być na początku), potem na 4 sposoby miejsce dla 2, a na pozostałych miejscach umieszczamy 1–ki. W sumie jest więc 4 ⋅4 = 1 6 takich liczb.

Obliczmy teraz, ile jest liczb odpowiadających rozkładowi 5 = 4 + 1 . Na pierwszym miejscu możemy umieścić 4 lub 1, a drugą cyfrę niezerową możemy umieścić na jednym z pozostałych 4 miejsc. Wszystkie pozostałe cyfry to zera. Jest więc 2⋅4 = 8 takich liczb. Zauważmy, że dokładnie ten sam rachunek możemy zastosować w przypadku liczb odpowiadających rozkładowi 5 = 3+ 2 .

Pozostały jeszcze rozkłady 5 = 3+ 1+ 1 i 5 = 2 + 2+ 1 . W obu przypadkach będzie działał dokładnie ten sam rachunek, więc skoncentrujmy się na 5 = 3 + 1+ 1 . Miejsca dla zer możemy wybrać na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów (zero nie może być na początku). Na jednym z pozostałych 3 miejsc umieszczamy 3, a na dwóch pozostałych 1–ki. W sumie jest więc

6 ⋅3 = 18

takich liczb. Dokładnie tyle samo jest liczb odpowiadających rozkładowi 5 = 2+ 2+ 1 .

W sumie jest więc

2 + 16 + 8 + 8 + 18 + 18 = 70

liczb spełniających warunki zadania.  
Odpowiedź: 70

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!