Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9651832

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 0, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zastanówmy się na początek nad cyframi jedności. Zero jest cyfrą jedności w 4! liczb (możemy dowolnie ustalić kolejność pierwszych czterech cyfr). Każda z pozostałych cyfr jest natomiast cyfrą jedności w

3⋅3 ⋅2 ⋅1 = 18

liczbach (najbardziej znacząca cyfra nie może być zerem, więc możemy ją wybrać na 3 sposoby, a kolejność pozostałych 3 cyfr ustalamy dowolnie). To oznacza, że suma jedności wszystkich takich liczb będzie równa

(3 + 5 + 7 + 9) ⋅18 = 24 ⋅18 = 432.

Analogicznie, suma wszystkich dziesiątek utworzonych liczb będzie równa

(3 + 5 + 7 + 9) ⋅18⋅ 10 = 432 ⋅10 = 4320.

I tak dalej – taki sam rachunek mamy dla cyfr setek i cyfr tysięcy.

(3+ 5+ 7+ 9)⋅18 ⋅100 = 432 ⋅100 = 4 3200 (3+ 5+ 7+ 9)⋅18 ⋅100 0 = 432 ⋅1000 = 432000 .

Przy cyfrach dziesiątek tysięcy musimy być jednak bardziej ostrożni. Każda z niezerowych cyfr może się tam pojawić na 4! = 24 sposoby (pozostałe cyfry umieszczamy w dowolnej kolejności). Więc suma cyfr dziesiątek tysięcy jest równa

(3+ 5 + 7 + 9 )⋅4! = 24 ⋅24 ⋅10000 = 57600 00.

Interesująca nas suma jest więc równa

432 + 4 320+ 43200 + 43 2000 + 5760 000 = 623 9952.

 
Odpowiedź: 6239952

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!