Zadanie nr 8355749

Z liter 26 literowego alfabetu łacińskiego tworzymy czteroliterowe kody, przy czym każdy kod składa się z czterech różnych liter, które zostały wybrane z pewnych 6 kolejnych liter alfabetu. Ile jest takich kodów?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Nie jest to konieczne, ale dla lepszej orientacji wypiszmy litery alfabetu łacińskiego:

ABCDEF GHIJKLMNOP QRST UV W XY Z

Zauważmy, że jeżeli ustalimy litery z jakich ma składać się kod, to możemy ustalić ich kolejność w kodzie na

4! = 24

sposoby. Wystarczy zatem obliczyć, ile jest kodów z literami uporządkowanymi rosnąco (w sensie kolejności w alfabecie), a na koniec przemnożymy otrzymany wynik przez 24.

Sposób I

Zastanówmy się jaka może być najmniejsza (w sensie kolejności w alfabecie) litera w utworzonym kodzie. Jeżeli jest to , to pozostałe trzy litery wybieramy spośród następnych 5 liter, więc możemy to zrobić na

( 5) 5⋅ 4⋅3 = -------= 10 3 6

sposobów. Dokładnie tyle samo jest kodów zaczynających się od , tyle samo zaczynających się od i tak dalej, aż do . W sumie jest

21⋅1 0 = 210

rosnących kodów tego typu.

Pozostały jeszcze dwie możliwości: kod może się zaczynać od i od . Jeżeli kod zaczyna się od to pozostałe trzy litery wybieramy z następnych 4 liter. Możemy to zrobić na

( 4) = 4 3

sposoby. Jeżeli wreszcie kod zaczyna się od , to jest to kod W XY Z .

W sumie jest więc

24 ⋅(210 + 4 + 1) = 24 ⋅215 = 5160.

kodów spełniających warunki zadania.

Sposób II

Zastanówmy się jaka może być odległość skrajnych liter w utworzonym kodzie. Jeżeli rosnący kod ma długość 4 (w sensie liczby kolejnych liter, z których został wybrany), to może to być jeden z 26− 3 = 23 kodów:

ABCD , BCDE ,...,W XY Z.

Jeżeli natomiast długość kodu jest równa 5 to na 26− 4 = 22 sposoby możemy wybrać jego pierwszą literę, oraz na 3 sposoby możemy wybrać, która ze środkowych liter ma być pominięta, tzn. musi on mieć jedną z postaci