Zadanie nr 1065621

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy z trójkątów ADF , BED i CF E jest trójkątem prostokątnym z kątem 60∘ , czyli połówką trójkąta równobocznego. Jeżeli więc oznaczymy DB = x , CE = y i AF = z , to AD = 2AF = 2z , BE = 2DB = 2x i CF = 2CE = 2y .

ZINFO-FIGURE

Stąd

{ 2z+ x = AB = BC = 2x + y ⇒ 2z = x + y 2x+ y = BC = CA = 2y + z ⇒ 2x = y + z.

Jeżeli odejmiemy od pierwszego z tych równań drugie, to mamy

2z − 2x = x− z ⇒ 3z = 3x ⇒ z = x.

Stąd y = 2z − x = x i wszystkie trzy trójkąty ADF , BED i CF E są przystające. To oczywiście oznacza, że trójkąt DEF jest równoboczny. Musimy jeszcze wyznaczyć skalę podobieństwa tego trójkąta z trójkątem ABC . Zauważmy, że