Zadanie nr 1136830

Dane są trzy okręgi , i . Okręgi , są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu (patrz rysunek). Promienie okręgów i są odpowiednio równe i , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka jest równa √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów i .

Rozwiązanie

Niech będzie punktem styczności okręgów i , a i niech będą punktami styczności tych okręgów z okręgiem .

Sposób I

Wiemy, że środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, więc jest średnicą okręgu . W takim razie trójkąt ABE jest prostokątny. Prosta jako styczna do o 1 i o 2 jest prostopadła do prostej łączącej środki tych okręgów, czyli do . W takim razie jest wysokością w trójkącie ABE .

Aby obliczyć długość odcinka zauważmy, że trójkąty ASE i ESB są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta AEB ). W takim razie

AS-- SE- SE = SB 2 SE = AS ⋅SB = √2r1 ⋅-2r2 =√ 4r1r2 EF = 2SE = 2 ⋅2 r1r2 = 4 r1r2.

Sposób II

Korzystamy z tego, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ma długość równą średniej geometrycznej długości odcinków, na które wysokość ta dzieli przeciwprostokątną. Mamy zatem