/Szkoła średnia/Geometria

Ekstrema funkcji kwadratowej

Po wyrzuceniu ze szkoły pochodnych, funkcja kwadratowa stała się tematem przewodnim wszystkich zadań na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie dość prosta – zadania tego typu sprowadzają się do wyznaczenia najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowej na pewnym przedziale. Możliwe konfiguracje są następujące.

  • Jeżeli szukamy wartości największej, ramiona paraboli są skierowane w dół i wierzchołek jest zawarty w rozważanym przedziale,

    ZINFO-FIGURE

    to wartość największa jest osiągana w wierzchołku, to znaczy

    ( ) −b − Δ fmax = f(xw ) = yw dla (xw ,yw ) = ---,---- . 2a 4a

  • Jeżeli szukamy wartości najmniejszej, ramiona paraboli są skierowane do góry i wierzchołek jest zawarty w rozważanym przedziale, to wartość najmniejsza jest osiągana w wierzchołku.

  • W każdej innej sytuacji, wartość największa/najmniejsza jest osiągana w jednym z końców przedziału. W którym? – trzeba policzyć wartości w obu końcach i je porównać.

    ZINFO-FIGURE

Znajdźmy najmniejszą wartość funkcji

f(x) = 2x2 − 4x + 7

na przedziale ⟨− 1,0⟩ .
Ponieważ x = 1 ⁄∈ ⟨− 1,0⟩ w , wartość ta jest przyjmowana w jednym z końców przedziału. Mamy

f(− 1) = 13 > f(0) = 7 .

Zatem najmniejsza wartość to f(0) = 7 .

Ważna jest dziedzina! W zadaniach na ekstrema bardzo ważne (i często kłopotliwe) jest wyznaczenie przedziału, na którym szukamy ekstremum. Ogólna zasada jest taka, że gdy wyznaczymy już wzór funkcji f (x) , której mamy znaleźć ekstremum, to musimy ustalić jakie są możliwe wartości argumentu x . Jak to zrobić? – to zależy od rodzaju i treści zadania: jeżeli x jest długością jakiegoś odcinka to x > 0 , jeżeli x = sin α to x ∈ ⟨− 1,1⟩ , jeżeli t x = 2 to x ∈ (0,+ ∞ ) itd.

Spróbujmy znaleźć największe możliwe pole prostokąta o obwodzie 4 .
Jeżeli oznaczymy boki prostokąta przez a i 2 − a , to szukamy największej możliwej wartości wyrażenia a(2− a) . Na jakim przedziale? – boki prostokąta nie mogą być ujemne, więc a ∈ (0,2) . Łatwo policzyć, że maksymalne pole mamy dla kwadratu o boku 1.

Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po 2 sekundach spadł na ziemię. Wysokość, na jakiej znajdował się kamień nad ziemią po upływie t sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja h(t) = − 5t2 + 5t+ 1 0 . Na jaką największą wysokość wzniósł się ten kamień?
Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji h (t) – na takim, jak zmienia się czas, czyli dla t ∈ ⟨0,2⟩ .

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Zaloguj się Informacje o abonamencie
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.