Przekształcenia wykresów funkcji

Cała zabawa z przekształcaniem wykresów funkcji sprowadza się do następującego pytania: w jaki sposób zmieni się wzór funkcji jeżeli dokonamy przekształcenia jej wykresu? Oczywiście odpowiedź zależy od tego, jakie przekształcenie mamy na myśli. Przesuwanie wykresów Jest prosta zależność między przesunięciem wykresu funkcji, a zmianą jej wzoru. Zanim jednak przejdziemy do szczegółów wyjaśnijmy, że przesunięcie wykresu o jednostek wzdłuż osi oznacza przesunięcie wykresu o jednostek w kierunku strzałki na osi jeżeli , oraz o jednostek w przeciwnym kierunku jeżeli .

Żeby się nie pogubić, osobno przedstawimy każdą z trzech możliwych konfiguracji.
1. Przesunięcie wykresu o jednostek wzdłuż osi . Jest to zdecydowanie najprostsza sytuacja: wzór funkcji po przesunięciu będzie miał postać

Mam nadzieję, że nie budzi to wątpliwości: dodanie do wzoru funkcji liczby sprawia, że każda wartość funkcji jest większa o , czyli wykres przesuwa się o jednostek do góry. Jeżeli natomiast to wartości się zmniejszają, czyli przesuwamy w dół.

2. Przesunięcie wykresu o jednostek wzdłuż osi . Tym razem wzór funkcji po przesunięciu będzie miał postać

Wyjaśnijmy krótko skąd wziął się minus w nawiasie.

Zastanówmy się jak narysować wykres funkcji . W punkcie mamy wartość , w punkcie mamy wartość , itd.: w punkcie zaznaczamy wartość . To oznacza, że wszystkie wartości funkcji , czyli cały wykres, zostały przesunięte o 3 jednostki w prawo. Oczywiście myślimy analogicznie, gdy zamiast 3 jest .

3. Przesunięcie wykresu o wektor . W zasadzie jest to połączenie dwóch poprzednich sytuacji: przesunięcie wykresu o wektor to dokładnie to samo, co jednoczesne przesunięcie o jednostek wzdłuż osi i jednostek wzdłuż osi . Mamy więc wzór przesuniętej funkcji:

Odbicia wykresów Rozpocznijmy od najprostszej sytuacji.

Podobnie jest odbiciem względem osi .

Mam nadzieje, że powyższe wzory wydają się wam dość oczywiste, jeżeli jednak tak nie jest, to spróbujcie pomyśleć w jaki sposób narysować wykresy funkcji i , jeżeli umiecie liczyć wartości funkcji (czyli znacie jej wykres).

Pierwszy wykres przedstawia funkcję , a drugi

---

---

Oba wykresy powstają przez odbicie wykresu funkcji : pierwszy względem osi , a drugi względem osi .

Jeżeli wykonamy oba powyższe odbicia na raz, to otrzymamy symetrię względem początku układu współrzędnych.

Złożenia z wartością bezwzględną Jak zwykle zaczynamy od najprostszej sytuacji.

Powyższe sformułowanie jest dość niezręczne, ale powinno być jasne, o co chodzi: punkty wykresu, które są powyżej osi pozostają na swoim miejscu, a punkty, które są poniżej osi , odbijamy względem tej osi (czyli wędrują do góry).

Jeżeli natomiast wstawimy wartość bezwzględną do środka funkcji , czyli zajmujemy się funkcją postaci to sytuacja jest odrobinę ciekawsza. Zauważmy, że jeżeli to nowo otrzymana funkcja niczym się nie różni od funkcji (bo wtedy ), czyli na prawo od osi wykresy obydwu funkcji będą identyczne. Jeżeli natomiast to mamy , czyli wykres na lewo od osi powstaje przez odbicie prawej części wykresu względem tej osi.