/Szkoła średnia/Geometria

Zadanie nr 4606898

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS (tak jak na rysunku) jest równa 243, a promień okręgu wpisanego w podstawę ABC tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa, a jego krawędzią boczną.

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ściany bocznej.

PIC

Promień r okręgu wpisanego w podstawę to 13 wysokości trójkąta w podstawie, więc jeżeli przez a oznaczymy długość krawędzi podstawy to mamy równanie

√ -- 1 a 3 r = --⋅----- = 3 √ -3 2 √ -- a--3- 1√8-- 18---3 √ -- 6 = 3 ⇒ a = 3 = 3 = 6 3 .

Możemy teraz wykorzystać informację o objętości ostrosłupa do obliczenia długości jego wysokości

-- -- 1 a2√ 3 1 108√ 3 √ -- 243 = --⋅------⋅H = -⋅ -------⋅H = 9 3H 3 4 3 4 H = 24√3--= √27--= 9√ 3. 9 3 3

Pozostało teraz obliczyć żądany tangens.

√ -- AE 2r 6 2 2 3 tg α = ----= ---= -√---= -√---= -----. SE H 9 3 3 3 9

 
Odpowiedź: 2√ 3 --9-

Wersja PDF