Zadanie nr 9877022
W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy umieszczono dwie kule o promieniu
, w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
W pojemniku o najmniejszej wysokości kule są do siebie styczne oraz są styczne do podstaw pojemnika. Wysokość pojemnika możemy podzielić na trzy odcinki ,
i
. Pierwszy i trzeci mają długość
a długość drugiego możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego
. Zauważmy, że długość odcinka
to średnica podstawy walca minus dwa promienie wpisanych kul. Zatem

Zatem wysokość walca wynosi

Liczymy objętość

Odpowiedź: Wysokość: 18, objętość: