Zadanie nr 9928884

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Okrąg o średnicy przecina bok w punkcie .

Wykaż, że |CD | = |DB | .

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy odcinek .

Ponieważ kąt ∡ADB jest oparty na średnicy, więc jest prosty. To oznacza, że odcinek jest wysokością trójkąta ABC . Ale wysokość w trójkącie równobocznym pokrywa się ze środkową, czyli CD = DB .

Sposób II

Niech będzie punktem wspólnym okręgu i boku , a niech będzie środkiem okręgu. Połączmy punkt z punktami i , oraz dorysujmy odcinek . Zauważmy, że oba trójkąty BOD i AOE są równoramienne i każdy z nich ma kąt o mierze 60∘ . Są zatem równoboczne. To oznacza, że

∡EOD = 180∘ − ∡AOE − ∡BOD = 60∘,

czyli trójkąt równoramienny EOD też jest równoboczny. To z kolei oznacza, że dwa kąty trójkąta EDC są równe 60∘ , czyli to też jest trójkąt równoboczny. Dodatkowo wszystkie narysowane trójkąty równoboczne są przystające, czyli w szczególności CD = DB .

Sposób III

Dorysujmy odcinek .

Trójkąt ABC jest równoboczny i bok jest średnicą okręgu, zatem każdy z jego boków ma długość , gdzie jest promieniem danego okręgu. W szczególności BC = 2r . Teraz patrzymy na trójkąt OBD – jest on równoramienny, bo OD = OB = r oraz jeden z jego kątów miarę ∘ 60 . Trójkąt ten jest więc równoboczny, czyli DB = r . To oznacza, że