/Szkoła średnia/Geometria

Zadanie nr 9957996

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przekształcenie P określone jest w następujący sposób: P (x,y) = (y + 2,x − 1) , gdzie x ,y ∈ R .

  • Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią.
  • W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A (− 1,2) , B(2,− 4) , C(1,5 ) , a następnie znajdź jego obraz w przekształceniu P .
  • Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną na bok AB .
  • Oblicz pole trójkąta ′′ ′′ ′′ A B C , który jest obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku w punkcie (0,0) i skali k = −5 .
PIC

Rozwiązanie

  •  

    Sposób I

    Przekształcenie P możemy rozpisać następująco

    P (x,y) = T (S(x,y)),

    gdzie S(x,y) = (y ,x) i T(x,y ) = (x+ 2,y − 1) . Przekształcenie to jest zatem złożeniem symetrii względem prostej y = x z przesunięciem (translacją) o wektor [2,− 1] (najpierw symetria, potem translacja). Jest to więc izometria.

    Sposób II

    Musimy sprawdzić, że przekształcenie to zachowuje odległość. Jeżeli A = (x1,y1) i B = (x2,y2) , to P (A) = (y1 + 2 ,x1 − 1) , P(B ) = (y2 + 2,x2 − 1) . Mamy zatem

    ∘ --------------------------------------- |P (A)P (B)| = (y2 + 2 − y 1 − 2 )2 + (x2 − 1 − x1 + 1)2 = ∘ ----------------------- = (y2 − y 1)2 + (x 2 − x 1)2 = |AB |.
  • Korzystając ze wzoru na P (z treści zadania), wyliczamy
    P(A ) = (4,− 2), P(B ) = (− 2,1), P (C) = (7 ,0).
    PIC
  • Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)
    p (x− x0)+ q(y− y0) = 0.

    W naszej sytuacji

    → →v = AB = [3 ,−6 ],

    oraz (x 0,y0) = C = (1,5) . Stąd szukana prosta to

    3(x − 1)− 6(y − 5) = 0 (x− 1)− 2(y− 5) = 0 x− 2y + 9 = 0.

     
    Odpowiedź: x − 2y + 9 = 0

  • Aby obliczyć pole trójkąta ABC , korzystamy ze wzoru
    1- PABC = 2|(xB − xA )(yC − yA )− (yB − yA)(xC − xA)|.

    W naszej sytuacji

    P = 1|3 ⋅3− (− 6)⋅2| = 21. ABC 2 2

    Ponieważ pole przy jednokładności zmienia się jak kwadrat skali (bo odcinki zmieniają się jak skala, a pole to iloczyn dwóch odcinków), to

    21 525 PA ′′B′′C′′ = 5 2PABC = 25⋅ ---= ----= 262,5. 2 2

     
    Odpowiedź: 262,5

Wersja PDF