Zadanie nr 9971751

Niech będzie punktem przecięcia przekątnych, a i środkami podstaw i .

Wiemy, że trójkąty i są podobne, oznaczmy skalę ich podobieństwa przez . W takim razie jednokładność o środku w i skali przekształca trójkąt na trójkąt . W szczególności przekształca środek boku na środek boku . Zatem . To jednak oznacza, że środek jednokładności leży na odcinku .

Niech będzie środkiem podstawy , punktem przecięcia się przekątnych, a punktem wspólnym odcinków i . Zauważmy, że mamy dwie pary trójkątów podobnych: i oraz i . Z tych podobieństw mamy

co oznacza, że jest środkiem podstawy .

Teza jest oczywista dla równoległoboku, więc załóżmy, że trapez ma boki nierównoległe i niech będzie punktem wspólnym zwierających je prostych.

Zauważmy, że jeżeli jest środkiem odcinka to prosta jest środkową trójkąta . Na mocy twierdzenia Talesa prosta ta dzieli każdy poziomy odcinek (tzn. odcinek równoległy do ), którego końce leżą na prostych i na dwie równe części. W szczególności prosta ta przechodzi przez środek podstawy . Ponadto, jeżeli jest punktem wspólnym tej prostej z odcinkiem równoległym do i przechodzącym przez punkt przecięcia przekątnych to . Jednak jak wiadomo tę samą własność ma punkt przecięcia przekątnych trapezu. Zatem musi być punktem przecięcia przekątnych.