Zadanie nr 4906652
Czworokąt jest wpisany w okrąg o środku
i promieniu
. Przekątna
zawiera się w prostej o równaniu
i tworzy z bokiem
kąt o mierze
. Obie współrzędne punktu
są ujemne, a obie współrzędne punktu
są dodatnie. Przekątne czworokąta
są prostopadłe. Oblicz współrzędne punktu
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku – rysujemy okrąg o środku i promieniu
oraz prostą
:
.
Okrąg, o którym mowa w zadaniu ma równanie
![(x − 4)2 + (y + 5)2 = 5 0 2 2 x − 8x + y + 1 0y− 9 = 0.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR5x.png)
Jedna rzecz, którą na pewno możemy zrobić, to wyznaczenie współrzędnych punktów i
. W tym celu podstawiamy
do równania danego okręgu.
![50 = (x − 4)2 + (y + 5)2 = (− 2y − 15 )2 + (y + 5)2 50 = 4y2 + 60y + 2 25+ y2 + 10y + 25 / : 5 2 0 = y + 14y + 40 Δ = 196 − 16 0 = 36 − 14 − 6 −1 4+ 6 y = ---------= − 10 lub y = ---------= − 4. 2 2](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR9x.png)
Mamy wtedy i
odpowiednio. Wiemy, że punkt
ma obie współrzędne ujemne, więc
i
.
Najtrudniejsza część tego zdania, to wykorzystanie informacji o tym, że . Spróbujemy rozwiązać ten problem na dwa różne sposoby.
Sposób I
Spróbujemy wykorzystać podaną miarę kąta do tego, żeby napisać równanie prostej
. Niech
i
będą punktami wspólnymi odpowiednio prostych
i
z osią
. Oznaczmy ponadto
i
. Znamy równanie prostej
, a jej współczynnik kierunkowy to dokładnie
![1- ∘ − 2 = tg(180 − β ) = − tg β.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR26x.png)
Zatem . To pozwala obliczyć współczynnik kierunkowy prostej
, czyli
![∘ ∘ ∘ tg α = tg(18 0 − (β+ 45 )) = − tg(β + 45 ).](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR29x.png)
Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów
![tg (x+ y) = -tg-x+--tg-y- 1 − tg xtg y](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR30x.png)
Mamy zatem
![∘ tg β + tg4 5∘ 12 + 1 32 tgα = − tg(β + 45 ) = − 1−--tg-β-tg-45∘-= − ----1-= − 1-= −3 . 1 − 2 2](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR31x.png)
Prosta ma więc równanie postaci
. Współczynnik
obliczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![−1 0 = − 27 + b ⇒ b = 1 7.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR36x.png)
Szukamy teraz punktu wspólnego danego okręgu i prostej
– podstawiamy
do równania okręgu.
![2 2 2 2 50 = (x − 4) + (y + 5) = (x − 4) + (− 3x + 22) 50 = x2 − 8x + 16 + 9x 2 − 1 32x + 484 / : 10 0 = x2 − 14x + 4 5 Δ = 196 − 18 0 = 16 14-−-4- 14+--4- x = 2 = 5 lub x = 2 = 9.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR40x.png)
Rozwiązanie da nam punkt
, więc
,
i
.
Piszemy teraz równanie przekątnej – jest prostopadła do
, więc ma równanie postaci
. Ponadto przechodzi przez punkt
, więc
![2 = 10 + b ⇒ b = − 8.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR50x.png)
Przekątna ma więc równanie:
. Podstawiamy teraz to wyrażenie do równania okręgu opisanego na czworokącie
.
![2 2 2 2 50 = (x− 4) + (y + 5 ) = (x− 4) + (2x− 3) 2 2 50 = x − 8x+ 16+ 4x − 12x + 9 / : 5 0 = x2 − 4x− 5 Δ = 16+ 20 = 36 4−--6- 4+--6- x = 2 = − 1 lub x = 2 = 5.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR54x.png)
Rozwiązanie da nam punkt
, więc
,
i
.
Sposób II
Popatrzymy na trójkąt . Znamy promień
opisanego na nim okręgu oraz miarę kąta
. To pozwala łatwo obliczyć długość boku
. Na mocy twierdzenia sinusów mamy
![√ -- √ -- ---AD------= 2R ⇒ AD = 10 2⋅ --2-= 1 0. sin∡ACD 2](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR64x.png)
To oznacza, że punkt leży na okręgu o środku
i promieniu 10.
![2 2 (x + 3) + (y + 4) = 1 00 x2 + 6x + y 2 + 8y − 75 = 0.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR67x.png)
Współrzędne punktu spełniają więc układ równań
![{ 2 2 x − 8x + y + 1 0y− 9 = 0 x2 + 6x + y 2 + 8y − 75 = 0](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR69x.png)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
![− 14x + 2y + 6 6 = 0 / : 2 y = 7x− 33.](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR70x.png)
Podstawiamy teraz do równania jednego z okręgów.
![2 2 2 2 100 = (x+ 3) + (y + 4 ) = (x+ 3) + (7x− 29) 100 = x2 + 6x+ 9+ 49x2 − 406x + 8 41 2 0 = 50x − 400x + 75 0 / : 5 0 0 = x2 − 8x+ 15 Δ = 64− 60 = 4 8− 2 8 + 2 x = ------= 3 lub x = ------= 5 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/4906652/HzadR72x.png)
Wtedy i
odpowiednio. Wiemy, że punkt
ma obie współrzędne dodatnie, więc
. Dalej postępujemy identycznie jak w poprzednim sposobie (piszemy równanie przekątnej
i wyznaczamy współrzędne punktu
).
Odpowiedź: