/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Różne

Zadanie nr 4906652

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku (4,− 5) i promieniu √ -- 5 2 . Przekątna AC zawiera się w prostej o równaniu 2y + x + 11 = 0 i tworzy z bokiem CD kąt o mierze 45∘ . Obie współrzędne punktu A są ujemne, a obie współrzędne punktu D są dodatnie. Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Oblicz współrzędne punktu B .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku – rysujemy okrąg o środku (4,− 5) i promieniu √ -- √ --- 5 2 = 50 ≈ 7 oraz prostą AC : y = − 12 x− 121 .

ZINFO-FIGURE

Okrąg, o którym mowa w zadaniu ma równanie

(x − 4)2 + (y + 5)2 = 5 0 2 2 x − 8x + y + 1 0y− 9 = 0.

Jedna rzecz, którą na pewno możemy zrobić, to wyznaczenie współrzędnych punktów A i C . W tym celu podstawiamy x = − 2y− 11 do równania danego okręgu.

50 = (x − 4)2 + (y + 5)2 = (− 2y − 15 )2 + (y + 5)2 50 = 4y2 + 60y + 2 25+ y2 + 10y + 25 / : 5 2 0 = y + 14y + 40 Δ = 196 − 16 0 = 36 − 14 − 6 −1 4+ 6 y = ---------= − 10 lub y = ---------= − 4. 2 2

Mamy wtedy x = − 2y − 11 = 9 i y = − 2y − 11 = − 3 odpowiednio. Wiemy, że punkt A ma obie współrzędne ujemne, więc A = (− 3 ,− 4 ) i C = (9,− 10) .

Najtrudniejsza część tego zdania, to wykorzystanie informacji o tym, że ∘ ∡ACD = 4 5 . Spróbujemy rozwiązać ten problem na dwa różne sposoby.

Sposób I

Spróbujemy wykorzystać podaną miarę kąta ACD do tego, żeby napisać równanie prostej CD . Niech K i L będą punktami wspólnymi odpowiednio prostych CD i AC z osią Ox . Oznaczmy ponadto α = ∡CKL i β = CLK . Znamy równanie prostej AC , a jej współczynnik kierunkowy to dokładnie

1- ∘ − 2 = tg(180 − β ) = − tg β.

Zatem tgβ = 1 2 . To pozwala obliczyć współczynnik kierunkowy prostej CD , czyli

∘ ∘ ∘ tg α = tg(18 0 − (β+ 45 )) = − tg(β + 45 ).

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów

tg (x+ y) = -tg-x+--tg-y- 1 − tg xtg y

Mamy zatem

∘ tg β + tg4 5∘ 12 + 1 32 tgα = − tg(β + 45 ) = − 1−--tg-β-tg-45∘-= − ----1-= − 1-= −3 . 1 − 2 2

Prosta CD ma więc równanie postaci y = − 3x + b . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu C .

−1 0 = − 27 + b ⇒ b = 1 7.

Szukamy teraz punktu wspólnego D danego okręgu i prostej CD – podstawiamy y = − 3x + 17 do równania okręgu.

2 2 2 2 50 = (x − 4) + (y + 5) = (x − 4) + (− 3x + 22) 50 = x2 − 8x + 16 + 9x 2 − 1 32x + 484 / : 10 0 = x2 − 14x + 4 5 Δ = 196 − 18 0 = 16 14-−-4- 14+--4- x = 2 = 5 lub x = 2 = 9.

Rozwiązanie x = 9 da nam punkt C , więc x = 5 , y = − 3x+ 17 = 2 i D = (5,2 ) .

Piszemy teraz równanie przekątnej BD – jest prostopadła do AC , więc ma równanie postaci y = 2x+ b . Ponadto przechodzi przez punkt D , więc

2 = 10 + b ⇒ b = − 8.

Przekątna BD ma więc równanie: y = 2x− 8 . Podstawiamy teraz to wyrażenie do równania okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

2 2 2 2 50 = (x− 4) + (y + 5 ) = (x− 4) + (2x− 3) 2 2 50 = x − 8x+ 16+ 4x − 12x + 9 / : 5 0 = x2 − 4x− 5 Δ = 16+ 20 = 36 4−--6- 4+--6- x = 2 = − 1 lub x = 2 = 5.

Rozwiązanie x = 5 da nam punkt D , więc x = − 1 , y = 2x − 8 = − 10 i B = (− 1,− 10) .

Sposób II

Popatrzymy na trójkąt ACD . Znamy promień √ -- R = 5 2 opisanego na nim okręgu oraz miarę kąta ACD . To pozwala łatwo obliczyć długość boku AD . Na mocy twierdzenia sinusów mamy

√ -- √ -- ---AD------= 2R ⇒ AD = 10 2⋅ --2-= 1 0. sin∡ACD 2

To oznacza, że punkt D leży na okręgu o środku A = (− 3,− 4) i promieniu 10.

2 2 (x + 3) + (y + 4) = 1 00 x2 + 6x + y 2 + 8y − 75 = 0.

Współrzędne punktu D spełniają więc układ równań

{ 2 2 x − 8x + y + 1 0y− 9 = 0 x2 + 6x + y 2 + 8y − 75 = 0

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 14x + 2y + 6 6 = 0 / : 2 y = 7x− 33.

Podstawiamy teraz y = 7x − 33 do równania jednego z okręgów.

2 2 2 2 100 = (x+ 3) + (y + 4 ) = (x+ 3) + (7x− 29) 100 = x2 + 6x+ 9+ 49x2 − 406x + 8 41 2 0 = 50x − 400x + 75 0 / : 5 0 0 = x2 − 8x+ 15 Δ = 64− 60 = 4 8− 2 8 + 2 x = ------= 3 lub x = ------= 5 . 2 2

Wtedy y = 7x − 33 = − 12 i y = 7x− 33 = 2 odpowiednio. Wiemy, że punkt D ma obie współrzędne dodatnie, więc D = (5,2) . Dalej postępujemy identycznie jak w poprzednim sposobie (piszemy równanie przekątnej BD i wyznaczamy współrzędne punktu B ).  
Odpowiedź: B = (− 1,− 10)

Wersja PDF