/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Różne

Zadanie nr 6433681

Punkty A = (2,4),B = (5,3) i C = (6,− 4) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Wierzchołek D tego czworokąta leży na prostej o równaniu y = 2x + 5 . Wyznacz współrzędne punktu D .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Wyznaczymy najpierw współrzędne środka okręgu opisanego na czworokącie ABCD . Punkt ten można wyznaczyć jako punkt wspólny symetralnych odcinków AB i BC , ale my zrobimy to inaczej – szukamy punktu S = (x,y) , którego odległości od A ,B i C są równe.

{ 2 2 AS = BS AS 2 = CS 2 { 2 2 2 2 (x− 2) + (y − 4 ) = (x− 5) + (y− 3) (x− 2)2 + (y − 4 )2 = (x− 6)2 + (y+ 4)2 { x2 − 4x+ 4+ y2 − 8y+ 16 = x 2 − 10x + 25+ y2 − 6y+ 9 2 2 2 2 { x − 4x+ 4+ y − 8y+ 16 = x − 1{2x + 36+ y + 8y+ 16 6x− 2y = 14 / : 2 ⇐ ⇒ 3x − y = 7 8x− 16y = 3 2 / : 8 x − 2y = 4.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez 3 i mamy

3x − y − 3x + 6y = 7− 12 5y = − 5 ⇒ y = − 1.

Stąd x = 4 + 2y = 4− 2 = 2 i S = (2,− 1) .

Teraz szukamy takiego punktu D = (x ,2x + 5) leżącego na danej prostej, dla którego 2 2 SD = SA .

2 2 2 2 (x − 2) + (2x + 5 + 1) = (2 − 2) + (4 + 1) x2 − 4x + 4 + 4x2 + 24x + 36 = 0 + 25 2 5x + 20x + 1 5 = 0 / : 5 x2 + 4x + 3 = 0 Δ = 16− 12 = 4 − 4− 2 −4 + 2 x = -------= − 3 lub x = -------= − 1. 2 2

Mamy wtedy y = 2x + 5 = − 1 lub y = 2x + 5 = 3 odpowiednio. Są zatem dwa punkty spełniające warunki zadania D = (−3 ,−1 ) lub D = (− 1,3) .  
Odpowiedź: D = (− 3,− 1) lub D = (− 1,3)

Wersja PDF