Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7508248

Prosta x − y − 1 = 0 jest osią symetrii pewnego czworokąta wpisanego w okrąg. Punkty (1,0),(5 ,− 2 ) są jego wierzchołkami. Znajdź pozostałe wierzchołki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Oznaczmy A = (5 − 2) i D = (1,0) . Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktu C . Jest on symetryczny do punktu A względem podanej prostej. Napiszmy równanie prostej prostopadłej do prostej BD i przechodzącej przez punkt A . Szukamy prostej w postaci y = −x + b (bo ma być prostopadła do y = x − 1 ). Współczynnik b wyznaczmy wstawiając współrzędne punktu A .

− 2 = −5 + b ⇒ b = 3.

Szukamy teraz punktu przecięcia prostych AC i DB .

{ y = x − 1 y = −x + 3.

Dodajemy równania stronami i mamy y = 1 . Stąd x = y+ 1 = 2 i L = (2,1) .

Punkt L jest środkiem odcinka AC , więc

 ( ) (2,1) = 5+--xC, −2-+-yC-- 2 2 { 4 = 5+ xC ⇒ xC = − 1 2 = − 2+ yC ⇒ yC = 4.

Zatem C = (− 1,4) . Współrzędne punktu B wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy, że czworokącie ABCD można opisać okrąg – wyznaczymy jego środek O . Mając współrzędne punktu O łatwo wyznaczmy współrzędne punktu B , bo odcinek DB musi być średnicą okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Punkt O jest punktem wspólnym prostej DB oraz symetralnej odcinka AD . Napiszemy równanie tej symetralnej. Środkiem odcinka AD jest punkt

 ( ) A--+-D- 5-+-1- −-2+--0 K = 2 = 2 , 2 = (3,− 1).

Symetralną odcinka AD napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy P = K i →v = −A→D = [−4 ,2] . Równanie prostej KO ma więc postać

 − 4(x − 3) + 2(y + 1 ) = 0 / : 2 − 2(x − 3) + y + 1 = 0 y = 2x − 7.

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych BD i KO , czyli punktu O .

{ y = x− 1 y = 2x− 7.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy x = 6 . Stąd y = x− 1 = 5 i O = (6,5) . Pozostało teraz skorzystać z tego, że O jest środkiem odcinka DB .

 D + B ( 1 + x 0 + y ) (6,5 ) = O = -------= ------B,-----B- { 2 2 2 12 = 1 + x ⇒ x = 11 B B 10 = yB.

Zatem B = (11,10) .

Sposób II

Zauważmy, że ponieważ DB jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie ABCD , kąt DAB jest prosty. To oznacza, że możemy dość łatwo napisać równanie prostej AB – jest to prosta prostopadła do AD i przechodząca przez A . Jej równanie napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji P = A i → −→ v = AD = [− 4,2] . Zatem prosta AB ma równanie

 − 4(x − 5) + 2(y + 2 ) = 0 / : 2 − 2(x − 5) + y + 2 = 0 y = 2x − 12.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny prostych DB i AB .

{ y = x − 1 y = 2x − 12.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy x = 1 1 . Stąd y = x− 1 = 10 i B = (11,10) .  
Odpowiedź: (− 1,4) i (11,10 )

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!