Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8727110

Proste k,l,m są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór S składający się z 3n punktów (n ≥ 3 ), przy czym na każdej z prostych wybrano n punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru S leżą na jednej prostej, to prostą tą jest k,l lub m . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru S .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Mamy dwa rodzaje trójkątów: takie, których dwa wierzchołki leżą na jednej z podanych prostych oraz takie, że każdy wierzchołek leży na innej prostej.

Łatwo policzyć trójkąty drugiego rodzaju – wiemy, że jeżeli wybierzemy po jednym punkcie z każdej prostej, to punkty te nie będą współliniowe, czyli będą tworzyły trójkąt. Jest więc

n⋅ n⋅ n = n3

takich trójkątów (wybieramy po jednym punkcie z każdej prostej).

Pozostało policzyć trójkąty pierwszego rodzaju. Na 3 sposoby możemy wybrać prostą, na której będą dwa wierzchołki trójkąta. Jeżeli prosta jest już ustalona, to dwa wierzchołki możemy wybrać na

( ) n = n-⋅(n-−-1)- 2 2

sposobów. Trzeci wierzchołek wybieramy zupełnie dowolnie spośród 2n punktów z dwóch pozostałych prostych. W sumie jest więc

 n-⋅(n-−-1)- 2 3 2 3 ⋅ 2 ⋅2n = 3n (n − 1) = 3n − 3n

trójkątów pierwszego rodzaju.

Razem jest więc

 3 3 2 3 2 n + 3n − 3n = 4n − 3n

trójkątów.

Sposób II

Trzy punkty spośród 3n możemy wybrać na

( ) 3n 3n-(3n−--1)(3n-−-2)- n(3n-−-1-)(3n-−-2)- 3 = 3! = 2

sposobów. To oczywiście nie koniec, bo nie każde trzy punkty tworzą trójkąt. Wiemy jednak, że „złe” trójki to dokładnie trójki punktów z prostych k,l,m . Jest

 (n ) n(n − 1)(n− 2) n(n − 1)(n − 2) 3 ⋅ = 3 ⋅---------------- = ---------------- 3 3! 2

takich trójek (wybieramy jedną z prostych i trzy jej punkty).

Jest zatem

n(3n − 1)(3n − 2) n (n − 1)(n − 2) -------------------− ---------------- = 2 2 = n-⋅(9n 2 − 9n + 2 − (n2 − 3n + 2)) = 2 = n-⋅(8n 2 − 6n) = 4n 3 − 3n2 2

„dobrych” trójkątów.  
Odpowiedź: 4n 3 − 3n 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!