Zadanie nr 8727110

Proste k,l,m są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór składający się z punktów ( n ≥ 3 ), przy czym na każdej z prostych wybrano punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru leżą na jednej prostej, to prostą tą jest k,l lub . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru .

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy dwa rodzaje trójkątów: takie, których dwa wierzchołki leżą na jednej z podanych prostych oraz takie, że każdy wierzchołek leży na innej prostej.

Łatwo policzyć trójkąty drugiego rodzaju – wiemy, że jeżeli wybierzemy po jednym punkcie z każdej prostej, to punkty te nie będą współliniowe, czyli będą tworzyły trójkąt. Jest więc

n⋅ n⋅ n = n3

takich trójkątów (wybieramy po jednym punkcie z każdej prostej).

Pozostało policzyć trójkąty pierwszego rodzaju. Na 3 sposoby możemy wybrać prostą, na której będą dwa wierzchołki trójkąta. Jeżeli prosta jest już ustalona, to dwa wierzchołki możemy wybrać na

( ) n = n-⋅(n-−-1)- 2 2

sposobów. Trzeci wierzchołek wybieramy zupełnie dowolnie spośród punktów z dwóch pozostałych prostych. W sumie jest więc

n-⋅(n-−-1)- 2 3 2 3 ⋅ 2 ⋅2n = 3n (n − 1) = 3n − 3n

trójkątów pierwszego rodzaju.

Razem jest więc

3 3 2 3 2 n + 3n − 3n = 4n − 3n

trójkątów.

Sposób II

Trzy punkty spośród możemy wybrać na

( ) 3n 3n-(3n−--1)(3n-−-2)- n(3n-−-1-)(3n-−-2)- 3 = 3! = 2

sposobów. To oczywiście nie koniec, bo nie każde trzy punkty tworzą trójkąt. Wiemy jednak, że „złe” trójki to dokładnie trójki punktów z prostych k,l,m . Jest