Zadanie nr 4034221

Rozwiązaniem nierówności x 15 logp (x+ 1) ≤ 32 + 16 z niewiadomą jest zbiór ⟨− 4,+ ∞ ) 5 . Wyznacz .

Rozwiązanie

Myślimy o wykresach obu stron. Wykres prawej strony jesteśmy w stanie dość dokładnie naszkicować – jest to wykres funkcji y = 32x przesunięty o 1156 do góry.

Zastanówmy się teraz jak może wyglądać wykres lewej strony. Jest to oczywiście wykres funkcji y = logpx przesunięty o jedną jednostkę w lewo. Gdyby p > 1 to logarytm dążyłby do − ∞ przy zbliżającym się do -1, a więc na pewno rozwiązaniami podanej nierówności byłyby liczby dowolnie bliskie -1. Takich liczb jednak nie ma w zbiorze rozwiązań, więc musi być p < 1 . Teraz możemy naszkicować oba wykresy.

Widać teraz, że wykres funkcji logp (x + 1) jest poniżej wykresu funkcji y = 32x + 15 16 dokładnie na prawo od punktu przecięcia się tych wykresów. Z drugiej strony wiemy, że zbiorem rozwiązań jest przedział 4 ⟨− 5,+ ∞ ) . To oznacza, że wykresy muszą się przecinać dla x = − 4 5 . Sprawdźmy jaka jest wtedy wartość funkcji x 15 y = 32 + 16 .