/Studia/Podstawy matematyki/Indukcja

Zadanie nr 2218127

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi równość

-1--+ -1-- + --1- + ...+ --------1--------= -n+--1-. 1⋅ 3 3 ⋅5 5 ⋅7 (2n + 1)(2n + 3) 2n + 3

Rozwiązanie

Sprawdzamy dla n = 0 .

1 1 ---- = -. 1 ⋅3 3

Załóżmy teraz, że wzór jest prawdziwy dla liczby n i pokażemy jego prawdziwość dla liczby n + 1 . Liczymy lewą stronę dla n + 1 .

1 1 1 1 1 ---- + ---- + ---- + ...+ -----------------+ -----------------= 1( ⋅3 3 ⋅5 5 ⋅7 (2n + 1)(2n + 3 ) )(2n + 3)(2n + 5 ) -1-- --1- --1- --------1-------- -------1--------- 1 ⋅3 + 3 ⋅5 + 5 ⋅7 + ...+ (2n + 1)(2n + 3) + (2n + 3)(2n + 5) = -n+--1-+ -------1---------= 2n + 3 (2n + 3)(2n + 5) (n + 1)(2n + 5)+ 1 = -------------------- = (2n+ 3)(2n + 5) 2n 2 + 7n + 6 = -----------------. (2n + 3 )(2n + 5)

Aby dalej przekształcić to wyrażenie, musimy rozłożyć licznik na iloczyn. Ponieważ wiemy co ma wyjść, łatwo to zrobić (można oczywiście też to zrobić z Δ -y).

2n2 + 7n + 6 2n 2 + 3n + 4n + 6 n(2n + 3) + 2(2n + 3) -----------------= ------------------ = -----------------------= (2n + 3)(2n + 5) (2n + 3)(2n + 5) (2n + 3)(2n + 5) (2n + 3)(n+ 2) n+ 2 -----------------= -------. (2n + 3)(2n + 5) 2n + 5

To co otrzymaliśmy to dokładnie prawa strona dla n+ 1 .

Wersja PDF