Zadanie nr 8398267

Uzasadnij wzór

3 3 3 3 2 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ n = (1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+ n ) dla n ≥ 1,

a następnie

Rozwiązanie

Podany wzór uzasadnimy indukcyjnie. Zanim to jednak zrobimy, zauważmy, że na mocy wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, możemy go zapisać w postaci

13 + 23 + 33 + ⋅⋅⋅+ n 3 = (1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+ n )2 = ( ) 2 2 2 = n(n-+-1-) = n-(n-+-1)--. 2 4

Dla n = 1 mamy oczywistą równość

1-⋅22 1 = 4 .

Załóżmy, że wzór zachodzi dla liczby naturalnej i pokażemy jego prawdziwość dla liczby n + 1 .

3 3 3 3 3 n 2(n+ 1)2 3 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ n + (n + 1) = -----4----- + (n + 1) = ( 2 ) ( 2 ) = (n + 1)2 n--+ n + 1 = (n+ 1)2 n--+-4n-+-4- = 4 4 2 2 = (n+--1)-(n-+-2)-. 4

Jest to dokładnie prawa strona wzoru z podstawionym n ↦→ n + 1 , co kończy dowód.

Na podstawie udowodnionego wzoru, mamy
$103 + 113 + ⋅⋅⋅+ 9 93 = 13 + 23 + ⋅⋅⋅+ 99 3 − (1 3 + 23 + ⋅⋅⋅ + 93) = 992 ⋅1002 92 ⋅10 2 = ----------− -------= 992 ⋅502 − 92 ⋅5 2 = 245004 75. 4 4$

Odpowiedź: 24500475
Musimy rozwiązać równanie
$n 2(n+ 1)2 144 00 = 13 + 23 + ⋅⋅⋅+ n3 = ----------- 2 2 2 2 4 12 ⋅10 ⋅4 = n (n + 1) 12 ⋅10 ⋅2 = n (n+ 1) 240 = n(n + 1).$

Można rozwiązać to równanie kwadratowe, ale łatwiej jest zgadnąć rozwiązanie: musi być bliskie . Próbujemy więc i wychodzi.
Odpowiedź: