Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8398267

Uzasadnij wzór

 3 3 3 3 2 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ n = (1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+ n ) dla n ≥ 1,

a następnie

  • oblicz sumę sześcianów wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych;
  • zapisz liczbę 14400 jako sumę sześcianów początkowych liczb naturalnych.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Podany wzór uzasadnimy indukcyjnie. Zanim to jednak zrobimy, zauważmy, że na mocy wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, możemy go zapisać w postaci

13 + 23 + 33 + ⋅⋅⋅+ n 3 = (1+ 2+ 3+ ⋅⋅⋅+ n )2 = ( ) 2 2 2 = n(n-+-1-) = n-(n-+-1)--. 2 4

Dla n = 1 mamy oczywistą równość

 1-⋅22 1 = 4 .

Załóżmy, że wzór zachodzi dla liczby naturalnej n i pokażemy jego prawdziwość dla liczby n + 1 .

 3 3 3 3 3 n 2(n+ 1)2 3 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ n + (n + 1) = -----4----- + (n + 1) = ( 2 ) ( 2 ) = (n + 1)2 n--+ n + 1 = (n+ 1)2 n--+-4n-+-4- = 4 4 2 2 = (n+--1)-(n-+-2)-. 4

Jest to dokładnie prawa strona wzoru z podstawionym n ↦→ n + 1 , co kończy dowód.

  • Na podstawie udowodnionego wzoru, mamy
    103 + 113 + ⋅⋅⋅+ 9 93 = 13 + 23 + ⋅⋅⋅+ 99 3 − (1 3 + 23 + ⋅⋅⋅ + 93) = 992 ⋅1002 92 ⋅10 2 = ----------− -------= 992 ⋅502 − 92 ⋅5 2 = 245004 75. 4 4

     
    Odpowiedź: 24500475

  • Musimy rozwiązać równanie
     n 2(n+ 1)2 144 00 = 13 + 23 + ⋅⋅⋅+ n3 = ----------- 2 2 2 2 4 12 ⋅10 ⋅4 = n (n + 1) 12 ⋅10 ⋅2 = n (n+ 1) 240 = n(n + 1).

    Można rozwiązać to równanie kwadratowe, ale łatwiej jest zgadnąć rozwiązanie: n musi być bliskie √ ---- 240 = 15,5 . Próbujemy więc n = 15 i wychodzi.  
    Odpowiedź: 1440 0 = 13 + ⋅⋅⋅+ 1 53

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!