/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2009/Matura próbna/Zadania.info

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 18 kwietnia 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

W trójkącie ABC proste zawierające dwusieczne kątów poprowadzonych z wierzchołków A i B przecinają się pod kątem ∘ 45 . Wiedząc, że AC = 2 i BC = 6 , oblicz

  • długość boku AB trójkąta ABC ;
  • długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > 1 to prawdziwa jest nierówność

∘ ------- ∘ ------- a50 − 1+ a50 + 1 < 2a25.

Zadanie 3
(5 pkt)

Ania przeczytała książkę science-fiction, która miała 572 strony. Ania każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile dni Ania czytała tę książkę, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron, a w ostatnim 68?

Zadanie 4
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których nierówność |x+ 3|+ |x − 2| ≤ p nie ma rozwiązań.

Zadanie 5
(4 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego zawiera się w prostej y = −x − 5 , a jedno z jego ramion w prostej y = 3x − 5 . Wyznacz równanie drugiego ramienia tego trójkąta, jeżeli jednym z jego wierzchołków jest punkt o współrzędnych (2 ,1 ) .

Zadanie 6
(6 pkt)

Rozważmy równanie 4 √ -- 2 9x + 2 − 5x − 1 = 0 .

  • Uzasadnij, że równanie to ma 4 pierwiastki.
  • Oblicz sumę szóstych potęg wszystkich pierwiastków tego równania.

Zadanie 7
(4 pkt)

Ciąg (an) , gdzie n ≥ 1 , jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wyznacz największą wartość funkcji 2 f (x) = 2xa6a 2 − a4a3x − a 3a 6 .

Zadanie 8
(4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM .

Zadanie 9
(4 pkt)

Losujemy dwie różne liczby całkowite a i b z przedziału (− 11,11) . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – równanie x2 + 2ax + b = 0 nie ma rozwiązań.

Zadanie 10
(6 pkt)

Dana jest funkcja f (x) = 1+tgx- ctg x dla x ∈ ⟨π-, π⟩ 6 3 .

  • Rozwiąż równanie f (x) = 2 .
  • Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) .

Zadanie 11
(4 pkt)

Długości boków równoległoboku ABCD wynoszą 1 i √ -- 3 , a kąt przy wierzchołku B ma miarę 1 50∘ . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania