/Konkursy/Zadania testowe/Zadania z treścią/Różne

Zadanie nr 7995924

Mecz koszykówki został rozstrzygnięty w dogrywce. W meczu tym najlepszy z zawodników zdobył 31 punktów. W każdej z kolejnych czterech kwart zdobywał więcej punktów niż w poprzedniej, a najwięcej w dogrywce. W dogrywce zawodnik ten zdobył 3 razy więcej punktów niż w pierwszej kwarcie. Ile punktów zdobył ten zawodnik w czwartej kwarcie?
A) 7 B) 10 C) 9 D) 6 E) 8

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez a1,a2,a3,a4,d liczby punktów zdobytych przez tego zawodnika w kolejnych kwartach i w dogrywce, to mamy

31 =a 1 + a2 + a3 + a4 + d ≥ ≥ a1 + (a 1 + 1) + (a1 + 2) + (a1 + 3)+ 3a1 = 7a1 + 6 2 5 ≥ 7a1 ⇒ 3 ≥ a1.

Teraz można dalej wypisywać różne nierówności, ale chyba prościej jest sprawdzić kolejno te wartości.

Dla a1 = 1 mamy d = 3 i oczywiście jest źle.

Dla a1 = 2 mamy d = 6 i musi być a2 = 3 ,a 3 = 4,a4 = 5 . Suma nie jest równa 31.

Zostaje a 1 = 3 . Wtedy d = 9 oraz

a2 ≥ 4 a3 ≥ 5 a4 ≥ 6.

Teraz sprawdzamy, że dla a4 = 6 lub a4 = 7 jest za mało punktów: maksymalnie jest wtedy

3 + 5 + 6 + 7 + 9 = 30.

Zatem musi być a = 8 4 .  
Odpowiedź: E

Wersja PDF