/Szkoła średnia/Nierówności/Kwadratowe

Wzory Viète'a

Jeżeli wymnożymy lewą stronę równości

a(x − x 1)(x − x2) = ax2 + bx + c,

to otrzymamy tak zwane wzory Viète’a dla równania kwadratowego.

b x1 + x2 = − a- c x1x2 = -. a

Inny prosty sposób wyprowadzenia tych wzorów to użycie wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Cały urok wzorów Viète’a polega na tym, że są bardzo proste – na przykład nie ma w nich pierwiastków. W wielu sytuacjach same rozwiązania równania mogą być dość paskudne, natomiast wzory Viète’a dają bardzo proste wyrażenia na x1 + x 2 i x1x2 .

Równanie

1 3x2 + 5x − 39 = 0

ma dość skomplikowane rozwiązania, ale nie trzeba ich liczyć, żeby stwierdzić, że ich iloczyn jest równy x 1x2 = − 3 , a suma x1 + x2 = − -5 13 . Co to daje? – na przykład widać z tego, że pierwiastki są różnych znaków (iloczyn jest ujemny) – jest to bardzo popularne zastosowanie wzorów Viète’a.

Równanie musi mieć pierwiastki! Niezwykle ważne jest pamiętanie o tym, że dopóki zajmujemy się tylko liczbami rzeczywistymi, to wzory Viète’a mają sens tylko wtedy, gdy równanie ma pierwiastki, to znaczy gdy Δ ≥ 0 .

Możemy sobie napisać wzorki x1x 2 = 5 , x 1 + x 2 = 3 dla równania 2 x − 3x+ 5 = 0 , ale dopóki nie nauczymy się liczb zespolonych, wzory te nie mają sensu, bo to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Uwaga ta jest szczególnie ważna w zadaniach z parametrem – zanim zaczniemy pisać wzory Viète’a musimy sprawdzić, kiedy równanie ma rozwiązania.

Dla jakiej wartości m suma różnych pierwiastków równania

x2 − mx + 3 = 0

jest większa od 1? Jeżeli równanie ma pierwiastki, to na mocy wzorów Viète’a, tak będzie, gdy m > 1 . Aby sprawdzić kiedy istnieją pierwiastki, musimy dodatkowo rozwiązać nierówność Δ > 0 . Ostateczną odpowiedzią jest √ -- m > 2 3 .

Cała potęga wzorów Viète’a ujawnia się w przypadku równań z parametrem. Dla takich równań wzory na pierwiastki równania dają wyjątkowo brzydkie wyrażenia, a wzory Viète’a wręcz przeciwnie. Typowe dwa rodzaje zadań tego typu to ustalenie znaków pierwiastków oraz zadania z różnymi wyrażeniami typu x21 + x22 . Omówimy teraz krótko obie sytuacje. Znaki pierwiastków Jak już wiemy, wzory Viète’a dają nam informację o iloczynie x1x 2 i sumie x1 + x2 . Jak na tej podstawie ustalić jakie są znaki x1 i x 2 ?

Znak iloczynu Znaki pierwiastków
x1x2 > 0 Pierwiastki są tych samych znaków, oba dodatnie gdy x 1 + x 2 > 0 i ujemne gdy x 1 + x 2 < 0 .
x1x2 < 0 Pierwiastki są różnych znaków.
x1x2 ≥ 0 Pierwiastki są tego samego znaku lub zerowe; nieujemne gdy x1 + x2 ≥ 0 i niedodatnie gdy x1 + x2 ≤ 0 .
x1x2 ≤ 0 Jeden pierwiastek jest niedodatni, a drugi nieujemny

Oczywiście nie ma sensu uczyć się powyższych formułek na pamięć – trzeba po prostu pamiętać, że na podstawie znaków x 1x2 i x1 + x2 można ustalić znak x1 i x 2 .

Kiedy pierwiastki równania 2 2 x + 3mx + m są ujemne?
Łatwo sprawdzić, że równanie ma zawsze pierwiastki, możemy więc stosować wzory Viète’a. Jeżeli liczby są ujemne, to ich iloczyn musi być dodatni (czyli 2 m > 0 ). Czy wystarczy sprawdzić ten warunek? – nie, bo iloczyn dwóch liczb dodatnich też jest dodatni; musimy jeszcze sprawdzić czy suma jest ujemna (czyli − 3m < 0 ) – w ten sposób wyeliminujemy tę drugą możliwość.

Wyrażenia z pierwiastkami Jeden z popularnych motywów w zadaniach na wzory Viète’a jest oparty o fakt, że każde symetryczne wyrażenie od x1 i x2 daje się przedstawić jako wyrażanie wielomianowe, w którym występują tylko x1x2 i x 1 + x 2 . Trochę to skomplikowanie brzmi, więc napiszmy kilka przykładów

2 2 2 x 1 + x 2 = (x1 + x2) − 2x1x2 x x2+ x2x = x x (x + x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x 31 + x 32 = (x1 + x2)(x21 − x1x2 + x22) = (x 1 + x 2)((x1 + x2)2 − 3x 1x2).

Na mocy wzorów Viète’a każde wyrażenie tego typu może być łatwo wyrażone od współczynników wielomianu. Tego typu przekształcenia działają zawsze, gdy wyrażenie jest symetryczne, to znaczy gdy nie zmienia się przy zamianie x 1 i x 2 miejscami – wszystkie wypisane wyżej wyrażenia są symetryczne. Dla odmiany, wyrażenie x1 − x2 nie jest symetryczne i nie da się go wyrazić przez x 1x 2 i x1 + x2 . (Natomiast (x1 − x2)2 już jest symetryczne).

Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania

x2 − 5x + 2 = 0 .

Liczymy

x2+ x2 = (x + x )2 − 2x x = 25 − 4 = 21 . 1 2 1 2 1 2

Układy równań Zacznijmy od przykładu.

Układ równań

{ x1 + x2 = − 5 x1x2 = −6

możemy rozwiązać następująco: na mocy wzorów Viète’a rozwiązania tego układu są pierwiastkami równania 2 x + 5x − 6 = 0 . Daje nam to dwie pary rozwiązań: (x1,x2) = (1,− 6) i (x 1,x 2) = (− 6,1) .

Powyższy sposób rozwiązania jest bardzo elegancki – gdybyśmy robili to tradycyjnie, czyli na przykład wyliczyli x 2 z drugiego równania i podstawili do pierwszego, to musimy dzielić przez x 1 , a więc musimy osobno się zastanowić, co się dzieje, gdy x1 = 0 ; potem musimy jeszcze przekształcić pierwsze równanie, a na koniec i tak dostaniemy to samo równanie kwadratowe, które przed chwilą rozwiązaliśmy.

Opisana metoda może być zastosowana do dowolnego układu równań z dwoma niewiadomymi x1 i x2 , w którym równania są symetryczne – podstawiamy s = x1 + x2 , t = x 1x 2 i rozwiązujemy układ (w jakikolwiek sposób), a na koniec wyliczamy x1 i x2 , tak jak to opisaliśmy wyżej.

W układzie

{ x 2+ x 2= 15 1 2 x 1x2 = 5

podstawiamy s = x1 + x2 , t = x1x2 i mamy układ równań

{ s2 − 2t = 1 5 t = 5

Łatwo z tego układu wyznaczyć (s,t) = (5,5) lub (s,t) = (− 5,5 ) . Zatem x1 i x 2 są pierwiastkami równania x2 + 5x + 5 lub x2 − 5x + 5 . Daje to nam 4 rozwiązania wyjściowego układu.

Tips & Tricks

1Jeżeli w zadaniu z parametrem przewidujemy, że wyjdzie nam tylko kilka wartości parametru, to zamiast sprawdzać na początku kiedy Δ ≥ 0 (lub Δ > 0 w zależności od polecenia), możemy na końcu sprawdzić otrzymane rozwiązania. Oczywiście ta metoda nic nie daje, gdy rozwiązaniem jest przedział lub gdy rozwiązań jest bardzo dużo.

Kiedy suma pierwiastków równania

x 2 + mx + 5 + m = 0

jest równa 3? Na mocy wzorów Viète’a będzie tak gdy m = − 3 . Ponieważ wyszła nam tylko jedna wartość m , to łatwiej jest sprawdzić, że dla m = − 3 równanie ma pierwiastki, niż na początku rozwiązywać nierówność kwadratową Δ ≥ 0 .

2Wzory Viète’a są niezwykle użyteczne przy sprawdzaniu czy dobrze rozwiązaliśmy równanie kwadratowe. Jeżeli chcemy mieć pewność, że się nie pomyliliśmy, to zamiast śledzić lub powtarzać rachunki, wystarczy otrzymane pierwiastki dodać i pomnożyć – jeżeli wyjdzie − b a i c a to pierwiastki są dobrze obliczone.

3Jeżeli znamy jeden pierwiastek równania kwadratowego, to ze wzoru c x1x2 = a (lub ze wzoru x1 + x2 = − b a ) natychmiast mamy drugi.

Łatwo zobaczyć, że 1 jest pierwiastkiem równania

x2 + 24x − 25 = 0

(przy odrobinie wprawy takie rzeczy widać od ręki – suma współczynników jest 0, więc 1 jest pierwiastkiem). W takim razie natychmiast wiemy, że -25 jest drugim pierwiastkiem (bo iloczyn rozwiązań jest równy -25).

Ten sam schemat pozwala łatwo zgadnąć rozwiązania prostych równań, w których pierwiastki są całkowite (bardzo częsta sytuacja w przypadku zadań szkolnych).

Jeżeli spodziewamy się, że równanie

2 x − 5x + 6,

ma mieć całkowity pierwiastek, to musi to być dzielnik 6, czyli musi to być ± 1,± 2,± 3 lub ± 6 . W dodatku, iloczyn pierwiastków jest równy 6, zatem jeżeli 1 nie jest pierwiastkiem, to 6 też nie może być i tak dalej. W podanym przykładzie pierwiastki to 2 i 3.

4 Wzory Viète’a można również stosować w sytuacjach, gdy podane wyrażenie z pierwiastkami nie jest symetryczne – zwykle daje nam to wtedy układ równań.

Dla jakich wartości parametru m , różne pierwiastki równania x 2 − 4x + m = 0 spełniają warunek x − x = 2 1 2 .
Deltę zostawiamy sobie na koniec. Na mocy wzorów Viète’a, mamy x1 + x2 = 4 . Dodając tę równość do podanego warunku otrzymujemy 2x 1 = 6 , czyli x1 = 3 . Sprawdźmy teraz, kiedy x = 3 jest pierwiastkiem.

0 = 9− 1 2+ m ⇐ ⇒ m = 3.

Z drugiego z wzorów Viète’a, wiemy że drugim pierwiastkiem równania

x2 − 4x + 3 = 0

jest x = 1 . Zatem równanie rzeczywiście ma dwa pierwiastki spełniające x − x = 2 1 2 . Skoro znamy oba pierwiastki, to nie musimy już sprawdzać Δ -y.

5Wzory Viète’a działają w przypadku Δ = 0 , o ile traktujemy ten jedyny w tym przypadku pierwiastek x 0 , jako dwa pierwiastki, które są równe, to znaczy

b x0 + x0 = 2x 0 = − -- a x0 ⋅ x0 = x20 = c. a

Powyższa obserwacja bywa źródłem wielu nieporozumień w szkolnych zadaniach ze wzorami Viète’a. Problem polega na braku jednoznacznej konwencji, czy równanie w przypadku Δ = 0 ma jeden pierwiastek, czy też ma dwa równe. Z punktu widzenia wzorów Viète’a (i jeszcze kilku innych) wygodnie jest przyjąć, że ma dwa pierwiastki – dzięki takiej umowie nie trzeba rozważać sytuacji Δ = 0 osobno.

Dla jakich parametrów m suma pierwiastków równania x2 − mx + 1 jest większa od 1?
Typowe szkolne rozwiązanie, to sprawdzenie Δ -y – daje to nam m ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ ⟨2 ,+ ∞ ) . Potem stosujemy wzory Viète’a

1 < x1 + x2 = m ⇐ ⇒ 1 < m .

Czyli m ≥ 2 .
Czy to jest dobre rozwiązanie? – aby było, musimy założyć, że równanie

2 2 x − 2x + 1 = (x − 1) = 0

ma dwa pierwiastki równe 1. Jeżeli nie chcemy tego zakładać, to m = 2 należy wyrzucić ze zbioru rozwiązań.

Powyższa wątpliwość na szczęście nie występuje, gdy zajmujemy się znakami pierwiastków.

Dla jakich parametrów m pierwiastki równania x2 − mx + 1 są dodatnie?
Jak poprzednio, z Δ -y mamy m ∈ (− ∞ ,−2 ⟩∪ ⟨2,+ ∞ ) . Na mocy wzorów Viète’a mamy

x1x2 = 1 x + x = m . 1 2

Widać więc, że pierwiastki będą dodatnie dla m > 0 , co w połączeniu z ograniczeniem na Δ -ę, daje m ≥ 2 .
Tu nie ma problemu z przypadkiem Δ = 0 , bo znak pierwiastka nie zależy od tego, czy traktujemy go pojedynczo czy podwójnie.

6Aby stosować podane wzory Viète’a musimy wiedzieć, że równanie jest kwadratowe – w przypadku równania z parametrem oznacza to konieczność osobnego rozpatrzenia przypadku, gdy współczynnik przy x2 jest zerowy.

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania mx 2 − 2x − m = 0 jest nieujemna?
Łatwo sprawdzić, że Δ > 0 , więc na mocy wzorów Viète’a mamy

1 1 x1 + x2 2m- 2 --+ ---= --------= −m--= − -- x1 x2 x 1x 2 m m -2 − m ≥ 0 ⇐ ⇒ m < 0.

To jednak nie koniec, bo ten rachunek miał sens o ile m ⁄= 0 . Dla m = 0 mamy równanie liniowe − 2x = 0 , więc też jest OK.

7W przypadku bardziej egzotycznych warunków ze znakami pierwiastków, warto się zastanowić, czy przypadkiem nie jest prościej ustalić, kiedy podany warunek nie jest spełniony.

Kiedy równanie

x 2 + 3mx + m 2 = 0

ma co najmniej jeden pierwiastek nieujemny? Sprawdzamy najpierw kiedy równanie ma w ogóle pierwiastki – okazuje się, że zawsze (Δ ≥ 0 ). Kiedy jeden jest nieujemny? – trudno to zapisać przy pomocy znaków x1 + x2 i x1x2 , za to bardzo łatwo jest zapisać warunek przeciwny, czyli że oba są ujemne. Musimy sprawdzić kiedy

0 < x 1x2 = m 2 ⇐ ⇒ m ⁄= 0 0 > x + x = − 3m ⇐ ⇒ m > 0. 1 2

Zatem dla m > 0 oba pierwiastki są ujemne, czyli dla m ≤ 0 przynajmniej jeden jest nieujemny.

8Wprawdzie taka wiedza wykracza poza program szkolny, ale czasem warto sobie zdawać sprawę z faktu, że istnieją wzory Viète’a dla wielomianów dowolnego stopnia. Ich wyprowadzenie jest identyczne jak w przypadku równania kwadratowego.

Jeżeli wymnożymy lewą stronę równości

a(x − x 1)(x− x2)(x− x3) = ax 3 + bx 2 + cx + d

i porównamy współczynniki przy odpowiednich potęgach x , to otrzymamy wzory Viète’a dla wielomianu stopnia 3

b x1 + x2 + x3 = − -- a x1x 2 + x 1x3 + x2x3 = c a d- x1x 2x3 = − a .

Pomimo, że wzory te są poza standardami szkolnymi, mogą być użyteczne w zadaniach typowo szkolnych.

Podobnie jak w przypadku równania kwadratowego, równość d x1x2x 3 = − a jest doskonałym sposobem na sprawdzenie, czy dobrze rozwiązaliśmy równanie stopnia 3.

Rozwiążmy równanie x 3 − 12x 2 − x+ 12 = 0 .
Dość łatwo jest zauważyć dwa pierwiastki tego równania (sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego): x = − 1 i x = 1 . Na mocy wzoru d x1x2x3 = − a , trzecim pierwiastkiem jest x = 12 .

Rozwiążmy równanie x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 .
Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego znajdujemy pierwiastek x = 2 . Jeżeli napiszemy teraz pierwszy i trzeci wzór Viète’a przyjmując x1 = 2 , to mamy

{ 2 + x 2 + x 3 = 7 ⇐ ⇒ x 2 + x 3 = 5 2x x = 12 ⇐ ⇒ x x = 6. 2 3 2 3

Zatem pozostałe pierwiastki równania są pierwiastkami równania kwadratowego

x2 − 5x + 6 = 0 .

Rozwiązując to równanie dostajemy x2 = 2 i x3 = 3 .

Wersja PDF