Zadanie nr 3639895

Dla jakich wartości parametru funkcja

{ f(x ) = (m − 1)x + m dla x < 1 x2 + (m − 2)x + 4 − 2m dla x ≥ 1

przyjmuje tylko dodatnie wartości?

Rozwiązanie

Zajmijmy się na początku pierwszą częścią wzoru. Ponieważ jest to funkcja liniowa to musi ona mieć współczynnik kierunkowy niedodatni (inaczej przyjmowałaby ujemne wartości) oraz musi mieć nieujemną wartość dla x = 1 . Pierwszy warunek oznacza, że m ≤ 1 a drugi, że

1 m − 1+ m ≥ 0 ⇒ m ≥ -. 2

Oba warunki dają więc nam

⟨ ⟩ 1- m ∈ 2 ,1 .

Zajmijmy się teraz drugą częścią wzoru. Jest to kawałek paraboli o ramionach skierowanych w górę. Aby jakoś zapisać kiedy ten kawałek jest powyżej osi fajnie byłoby wiedzieć, gdzie jest jej wierzchołek – to jednak wiemy na mocy otrzymanej już nierówności