/Szkoła średnia/Funkcje/Z pierwiastkami/Zbiór wartości

Zadanie nr 3693935

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji -----7------ f(x) = √3x2−12x+13 na przedziale ⟨0 ,6⟩ .

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja 7 f(x) = x jest malejąca dla x > 0 , wystarczy znaleźć punkty, w których wartości ekstremalne przyjmuje funkcja √ --------------- y = 3x2 − 12x + 13 . Podobnie, ponieważ rosnąca jest funkcja √ -- y = x , wystarczy zajmować się ekstremami funkcji g (x) = 3x2 − 12x + 1 3 . No i jesteśmy w dobrze znanej sytuacji. Wykresem funkcji g(x) jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc wartość najmniejszą przyjmuje w wierzchołku, czyli dla

x = −b--= 12-= 2. w 2a 6

W tym punkcie będziemy mieli największą wartość wyjściowej funkcji (bo y = 7x jest malejąca), równą

f (2) = √------7-------= 7. 12 − 24 + 13

Wartość największa funkcji g(x ) otrzymamy w jednym z końców przedziału. W którym? - liczymy.

g(0) = 13. g(6) = 3 ⋅36 − 72 + 13 = 4 9.

Zatem najmniejszą wartość funkcji f(x) otrzymamy dla x = 6 i jest ona równa

7 f (6) = √----= 1. 49

Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji f(x) .

PIC

 
Odpowiedź: fmin = f (6) = 1, fmax = f(2) = 7 .

Wersja PDF