/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2009/Matura

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 25 sierpnia 2009 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(5 pkt)

Dla jakich m ∈ R równanie x 2 − mx + m + 3 = 0 ma dwa różne rozwiązania, których suma odwrotności jest mniejsza od 1?

Zadanie 2
(5 pkt)

Wyznacz taki punkt A na prostej 2x + y − 1 = 0 , by suma kwadratów jego odległości od osi układu była najmniejsza.

Zadanie 3
(4 pkt)

Dany jest wykres funkcji logarytmicznej f .

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz wzór funkcji f .

  • Narysuj wykres funkcji g(x) = |f (x)− 2| .

  • Odczytaj z rysunku zbiór argumentów, dla których wartości funkcji g są nie mniejsze od wartości funkcji f .

Zadanie 4
(3 pkt)

Wykaż, że jeśli α ,β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to tg α + tgβ ≥ 2 .

Zadanie 5
(4 pkt)

Rozwiąż w zbiorze (− 2π ,π ) równanie 2 (sin x− cosx ) = 1 .

Zadanie 6
(5 pkt)

Ciąg (an) jest arytmetyczny oraz a1 = x i a2 = 4x − 1 . Wiedząc, że a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 25 oblicz x oraz sumę a11 + a12 + a13 + ⋅ ⋅⋅+ a25 .

Zadanie 7
(4 pkt)

Trapez równoramienny ABCD jest opisany na okręgu o promieniu r . Przekątna trapezu tworzy z dłuższą podstawą kąt α . Wyznacz obwód tego trapezu.

Zadanie 8
(4 pkt)

Na przyprostokątnych AB i AC trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC zaznaczono odpowiednio punkty K i L tak, że |AK-|= |CL-|= 1 |KB| |LA | 2 . Odcinki BL i CK przecinają się w punkcie M . Oblicz |MB-|- |MK | .

Zadanie 9
(4 pkt)

Ile punktów wspólnych ma prosta MN z okręgiem x2 + y2 − 2x− 6y = 0 jeśli M = (2 009,4012) oraz N = (− 50 ,−1 06) .

Zadanie 10
(3 pkt)

Dane są punkty √ -- √ -- √ --- A = (6 3 ,2), B = (− 3,23), C = (− 1 0,26) . Opisz za pomocą nierówności półpłaszczyznę o krawędzi AB , do której należy punkt C .

Zadanie 11
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD o bokach długości |AB | = 7 i |BC | = 1 4 . Krawędź CS jest prostopadła do podstawy. Najdłuższa krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 50∘ . Wykonaj rysunek pomocniczy tego ostrosłupa oraz oblicz jego objętość.

Zadanie 12
(4 pkt)

Do kina wybrało się 7 osób, wśród nich Basia i Janek. Wszyscy usiedli w jednym rzędzie, w którym jest dokładnie 7 wolnych miejsc. Oblicz, na ile sposobów wymienione osoby mogą zająć miejsca tak, by Basia i Janek siedzieli obok siebie. Oblicz też prawdopodobieństwo tego, że przy losowym zajmowaniu miejsc Basia i Janek nie siedzą obok siebie.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania