Zadanie nr 1773517
Punkty o współrzędnych ,
,
są wierzchołkami trapezu. Ramię trapezu
jest prostopadłe do podstaw
i
. Oblicz współrzędne punktu
oraz pole powierzchni tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od schematycznego rysunku.
Współrzędne punktu wyznaczymy pisząc równania prostych
i
– pierwsza z nich jest prostopadła, a druga równoległa do
. Zanim to jednak zrobimy napiszmy równanie prostej
(potrzebny nam jest jej współczynnik kierunkowy).
Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ − 6 = −a + b 6 = 3a+ b](https://img.zadania.info/zad/1773517/HzadR9x.gif)
Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy , czyli
. No i dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam był tylko współczynnik kierunkowy.
W takim razie prosta ma postać
, a prosta
postać
. Współczynniki
i
wyznaczamy podstawiając współrzędne odpowiednio punktów
i
.
![4 = 3⋅ (− 1)+ c ⇒ c = 7 1- 1- 19- − 6 = − 3 ⋅(− 1)+ d ⇒ d = − 6 3 = − 3 .](https://img.zadania.info/zad/1773517/HzadR20x.gif)
Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych i
.
![{ y = 3x + 7 1 19 y = − 3 x− 3](https://img.zadania.info/zad/1773517/HzadR23x.gif)
Porównując -ki mamy
![1 19 3x + 7 = − 3x − -3- 10-x = − 40- ⇒ x = − 4. 3 3](https://img.zadania.info/zad/1773517/HzadR25x.gif)
Zatem i
.
Aby obliczyć pole obliczamy długości podstaw i wysokości trapezu.
![∘ ------------------- √ --------- √ ------ √ --- AB = (3 + 1)2 + (6 + 6)2 = 16 + 14 4 = 4 1 + 9 = 4 10 ∘ ----------------------- √ ------- √ ------ √ --- CD = (− 4 + 1)2 + (− 5 − 4)2 = 9 + 81 = 3 1+ 9 = 3 10 ∘ ----------------------- 2 2 √ ------ √ --- AD = (− 4+ 1 ) + (− 5 + 6) = 9 + 1 = 10.](https://img.zadania.info/zad/1773517/HzadR28x.gif)
Pole trapezu jest więc równe
![√ --- √ --- √ --- AB + CD 4 1 0+ 3 10 √ --- 7 10 √ --- P = ----------⋅AD = -------------- ⋅ 10 = ------⋅ 10 = 35 . 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/1773517/HzadR29x.gif)
Odpowiedź: , pole: 35.