/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 2293968

Na przedziale [− 1,7] określono dwie funkcje: √ ------- f(x ) = 2x + 2 i √ --------- g (x) = − 18x + 1 8 . Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki A i D leżą na wykresie funkcji f , a wierzchołki B i C leżą na wykresie funkcji g . Podstawy rozpatrywanych trapezów są równoległe do osi Oy (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli pierwsza współrzędna punktów C i D jest równa 7, a druga współrzędna punktu A jest równa y , to pole trapezu ABCD jest równe

3 2 P(y ) = −y − 4y + 16y + 64.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

√ ------- √ --- f(7) = 1√4-+-2-=--- 16 =√4---- g(7) = − 12 6+ 1 8 = − 144 = − 1 2.

Zatem C = (7,− 12) , D = (7,4 ) i

CD = 4 + 12 = 16.

Wiemy, że druga współrzędna punktu A jest równa y .

PIC

Ustalmy, ile jest równa w takiej sytuacji jego pierwsza współrzędna.

√ ------- 2 y = 2x+ 2 / () y2 − 2 y2 = 2x+ 2 ⇒ x = ------. 2

W takim razie ( ) y2−2 A = 2 ,y i

( 2 ∘ -----2---------) ( 2 ) B = y--−-2-,− 18⋅ y-−--2-+ 18 = y--−-2-,−3y . 2 2 2

Druga podstawa trapezu ma więc długość

AB = y − y = y+ 3y = 4y, A B

a jego wysokość

y2 − 2 16 − y2 h = xD − xA = 7− -------= -------. 2 2

Pole trapezu ABCD jest wiec równe

AB + CD 4y + 1 6 16 − y2 PABCD = ---------- ⋅h = --------⋅ --------= 2 2 2 = (y + 4)(16 − y2) = −y 3 − 4y 2 + 1 6y+ 64.
Wersja PDF