Zadanie nr 2353615

Czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym, który nie jest równoległobokiem. Wiedząc, że podstawami trapezu są odcinki i , przy czym A = (− 2 ,− 4 ) , B = (7 ,5) i D = (− 1,2) , oblicz pole oraz obwód trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Widać, że od ręki możemy obliczyć długości: podstawy i ramienia .

∘ ------------------- √ -------- √ -- q = AB = (7 + 2)2 + (5 + 4)2 = 8 1+ 8 1 = 9 2 ∘ --------------------- 2 2 √ ------- √ --- AD = (− 1+ 2) + (2+ 4) = 1+ 36 = 37 .

Powinno też być jasne jak obliczyć wysokość trapezu – napiszemy równanie prostej , która jest prostopadła do i przechodzi przez . To pozwoli wyznaczyć współrzędne punktu .

Zacznijmy od prostej – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ −4 = − 2a+ b 5 = 7a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 9a = 9 , czyli a = 1 . Stąd b = 5− 7a = − 2 i prosta ma równanie y = x − 2 . To z kolei oznacza, że prosta (jako prostopadła do ) ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .