Zadanie nr 2572171
Dane są punkty i
. Wyznacz współrzędne punktu
, dla którego czworokąt
jest trapezem prostokątnym, którego kąt przy wierzchołku
jest prosty.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od schematycznego rysunku.
Skoro bok ma być prostopadły do
i widać, że bok
nie jest prostopadły do
, to podstawami trapezu muszą być boki
i
.
Współrzędne punktu wyznaczymy pisząc równania prostych
i
– pierwsza z nich jest prostopadła, a druga równoległa do
. Zanim to jednak zrobimy napiszmy równanie prostej
(potrzebny nam jest jej współczynnik kierunkowy).
Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 3 = 2a + b 5 = 3a + b](https://img.zadania.info/zad/2572171/HzadR15x.gif)
Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy . No i dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam był tylko współczynnik kierunkowy.
W takim razie prosta ma postać
, a prosta
postać
. Współczynniki
i
wyznaczamy podstawiając współrzędne odpowiednio punktów
i
.
![9 = 2⋅ 0+ c ⇒ c = 9 1 3 = − --⋅2 + d ⇒ d = 4. 2](https://img.zadania.info/zad/2572171/HzadR25x.gif)
Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych i
.
![{ y = 2x + 9 y = − 12x + 4](https://img.zadania.info/zad/2572171/HzadR28x.gif)
Porównując -ki mamy
![1- 2x+ 9 = − 2 x+ 4 5 2 -x = − 5 ⇒ x = − 5 ⋅--= − 2. 2 5](https://img.zadania.info/zad/2572171/HzadR30x.gif)
Zatem i
.
Odpowiedź: