Zadanie nr 2867926

Punkty B = (− 8,26) , C = (6,24 ) i D = (− 1 6,2) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach i . Wyznacz współrzędne wierzchołka tego trapezu jeżeli wiadomo, że |AD | = |AB | = |BC | .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Proste i są równoległe, więc widać, że jesteśmy w stanie napisać ich równania. Najpierw prosta – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 24 = 6a + b 2 = − 16a + b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

2 2 = 22a ⇒ a = 1.

Stąd b = 2 + 16a = 18 i podstawa ma równanie y = x + 1 8 . Podstawa ma więc równanie postaci y = x + b (bo jest równoległa do ). Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu

26 = −8 + b ⇒ b = 34.

Zatem podstawa ma równanie y = x+ 34

Sposób I

Szukany punkt leży na prostej , więc ma współrzędne postaci A = (x,x + 34) . Wystarczy teraz wyznaczyć taką wartość , dla której

DA 2 = BA 2 2 2 2 2 (x + 16) + (x + 34 − 2) = (x + 8) + (x + 34 − 26 ) x2 + 32x + 256 + x2 + 64x + 1024 = x 2 + 16x + 64+ x2 + 16x + 64 64x = − 115 2 ⇒ x = − 18 .

Stąd A = (− 18,− 18 + 34) = (− 18 ,16) .

Sposób II

Jeżeli oznaczmy przez i środki odpowiednio podstaw i , to

( ) C-+-D-- 6-−-16- 24-+-2- F = 2 = 2 , 2 = (− 5,13 ).

To pozwala łatwo napisać równanie osi symetrii trapezu ABCD – jest to prosta prostopadła do i przechodzi przez punkt . Szukamy więc prostej w postaci y = −x + b i podstawiamy współrzędne punktu .

13 = 5 + b ⇒ b = 8.

Prosta ma więc równanie y = −x + 8 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego z prostą .

{ y = x + 34 y = −x + 8

Dodajemy równania stronami i mamy

2y = 42 ⇒ y = 21.

Stąd x = −x + 8 = − 13 i E = (− 13 ,21) . Punkt jest środkiem odcinka , więc

E = A-+-B-- ⇒ 2E = A + B 2 A = 2E − B = (− 26,42) − (− 8,26) = (− 18 ,1 6).

Sposób III

Wiemy, że trójkąt ABD jest równoramienny, więc punkt leży na symetralnej odcinka . Równanie tej symetralnej możemy napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt S = (x 0,y0)