Zadanie nr 2931929
W okrąg o środku wpisano trapez w taki sposób, że jedna podstawa jest średnicą okręgu, a druga jest zawarta w prostej o równaniu
. Pole tego trapezu jest równe
. Oblicz współrzędne tych wierzchołków trapezu, które są końcami jego krótszej podstawy.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Najważniejszy brakujący element w opisie sytuacji to promień okręgu, o którym mowa w treści zadania. Z drugiej strony, mamy podaną informację o polu trapezu więc musimy ustalić jak powiązać ze sobą te dwie rzeczy. Ponieważ dłuższa podstawa
jest średnicą trapezu, to
. Łatwo też obliczyć wysokość trapezu – jest to po prostu odległość punktu
od prostej
. Liczymy (korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej)
![|4-+-3-+-3| 10-- √ -- h = d(S ,AB ) = √ 4 + 1 = √ 5 = 2 5.](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR6x.gif)
Długość podstawy możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego
– gdzie
jest środkiem podstawy
. Mamy zatem
![AE 2 = AS 2 − ES 2 = r2 − h 2 = r2 − 2 0 ( ) 1- 2 2 ∘ -2----- 2 AB = r − 20 ⇒ AB = 2 r − 20.](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR11x.gif)
Teraz możemy wykorzystać podaną informację o polu trapezu
![√ -- AB + CD 10+ 10 5 = ----------⋅h √ -2----- √ -- 2--r2 −-2-0+-2r- √ -- √ -- 10+ 10 5 = 2 ⋅2 5 / : 2 5 √ -- ∘ -2----- -- 5 + 5 = ∘ r-−-20-+ r √ 5 + 5 − r = r2 − 20 /()2.](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR12x.gif)
Musimy pozbyć się pierwiastka w powyższym równaniu, więc podnosimy je stronami do kwadratu. Skorzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia
![(a+ b − c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR13x.gif)
Mamy zatem
![√ -- √ -- 5 + 2 5+ r2 + 10 5 − 2 5r− 1 0r = r2 − 20 √ -- 5 0+ 10√ 5-= (10 + 2√ 5-)r ⇒ r = 10(5-+-√-5)-= 5. 2(5+ 5)](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR14x.gif)
No to teraz wszystko jest już proste. Okrąg ma równanie
![(x − 2)2 + (y− 3)2 = 52](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR15x.gif)
i pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą . Podstawiamy to wyrażenie do równania okręgu i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![2 2 2 2 25 = (x − 2) + (− 2x − 3 − 3) = (x − 2) + (2x + 6) 25 = x2 − 4x + 4 + 4x 2 + 24x + 36 2 0 = 5x + 20x + 15 / : 5 0 = x2 + 4x + 3 Δ = 16 − 12 = 4 − 4 − 2 − 4 + 2 x = ------- = − 3 lub x = ------- = − 1. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2931929/HzadR17x.gif)
Stad odpowiednio i
. Szukane wierzchołki mają więc współrzędne:
i
.
Odpowiedź: i