/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 2931929

W okrąg o środku S = (2,3) wpisano trapez w taki sposób, że jedna podstawa jest średnicą okręgu, a druga jest zawarta w prostej o równaniu 2x + y + 3 = 0 . Pole tego trapezu jest równe √ -- 10 + 10 5 . Oblicz współrzędne tych wierzchołków trapezu, które są końcami jego krótszej podstawy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Najważniejszy brakujący element w opisie sytuacji to promień r okręgu, o którym mowa w treści zadania. Z drugiej strony, mamy podaną informację o polu trapezu więc musimy ustalić jak powiązać ze sobą te dwie rzeczy. Ponieważ dłuższa podstawa CD jest średnicą trapezu, to CD = 2r . Łatwo też obliczyć wysokość trapezu – jest to po prostu odległość punktu S od prostej AB . Liczymy (korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej)

|4-+-3-+-3| 10-- √ -- h = d(S ,AB ) = √ 4 + 1 = √ 5 = 2 5.

Długość podstawy AB możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego AES – gdzie E jest środkiem podstawy AB . Mamy zatem

AE 2 = AS 2 − ES 2 = r2 − h 2 = r2 − 2 0 ( ) 1- 2 2 ∘ -2----- 2 AB = r − 20 ⇒ AB = 2 r − 20.

Teraz możemy wykorzystać podaną informację o polu trapezu

√ -- AB + CD 10+ 10 5 = ----------⋅h √ -2----- √ -- 2--r2 −-2-0+-2r- √ -- √ -- 10+ 10 5 = 2 ⋅2 5 / : 2 5 √ -- ∘ -2----- -- 5 + 5 = ∘ r-−-20-+ r √ 5 + 5 − r = r2 − 20 /()2.

Musimy pozbyć się pierwiastka w powyższym równaniu, więc podnosimy je stronami do kwadratu. Skorzystamy przy tym ze wzoru skróconego mnożenia

(a+ b − c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc

Mamy zatem

√ -- √ -- 5 + 2 5+ r2 + 10 5 − 2 5r− 1 0r = r2 − 20 √ -- 5 0+ 10√ 5-= (10 + 2√ 5-)r ⇒ r = 10(5-+-√-5)-= 5. 2(5+ 5)

No to teraz wszystko jest już proste. Okrąg ma równanie

(x − 2)2 + (y− 3)2 = 52

i pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą AB : y = − 2x − 3 . Podstawiamy to wyrażenie do równania okręgu i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 2 2 25 = (x − 2) + (− 2x − 3 − 3) = (x − 2) + (2x + 6) 25 = x2 − 4x + 4 + 4x 2 + 24x + 36 2 0 = 5x + 20x + 15 / : 5 0 = x2 + 4x + 3 Δ = 16 − 12 = 4 − 4 − 2 − 4 + 2 x = ------- = − 3 lub x = ------- = − 1. 2 2

Stad odpowiednio y = −2x − 3 = 3 i y = −2x − 3 = − 1 . Szukane wierzchołki mają więc współrzędne: A = (− 3,3) i B = (− 1,− 1) .  
Odpowiedź: (− 3,3) i (− 1 ,− 1 )

Wersja PDF